MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapss Unicode version

Theorem mapss 6764
Description: Subset inheritance for set exponentiation. Theorem 99 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapss  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  ^m  C
)  C_  ( B  ^m  C ) )

Proof of Theorem mapss
StepHypRef Expression
1 elmapi 6746 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( A  ^m  C )  ->  f : C --> A )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  f : C
--> A )
3 simplr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  A  C_  B
)
4 fss 5321 . . . . 5  |-  ( ( f : C --> A  /\  A  C_  B )  -> 
f : C --> B )
52, 3, 4syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  f : C
--> B )
6 simpll 733 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  B  e.  V )
7 elmapex 6745 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( A  ^m  C )  ->  ( A  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )
87simprd 451 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( A  ^m  C )  ->  C  e.  _V )
98adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  C  e.  _V )
10 elmapg 6739 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  V  /\  C  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  C )  <-> 
f : C --> B ) )
116, 9, 10syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  ( f  e.  ( B  ^m  C
)  <->  f : C --> B ) )
125, 11mpbird 225 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  /\  f  e.  ( A  ^m  C ) )  ->  f  e.  ( B  ^m  C ) )
1312ex 425 . 2  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( f  e.  ( A  ^m  C )  ->  f  e.  ( B  ^m  C ) ) )
1413ssrdv 3146 1  |-  ( ( B  e.  V  /\  A  C_  B )  -> 
( A  ^m  C
)  C_  ( B  ^m  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   -->wf 4655  (class class class)co 5778    ^m cmap 6726
This theorem is referenced by:  mapdom1  6980  ssfin3ds  7910  ingru  8391  resspsrbas  16107  resspsradd  16108  resspsrmul  16109  plyss  19529  negveudr  25022  subclrvd  25027  diophrw  26191  diophin  26205  diophun  26206  eq0rabdioph  26209  eqrabdioph  26210  rabdiophlem1  26235  diophren  26249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-map 6728
  Copyright terms: Public domain W3C validator