Theorem mapsspw 4341

Description: Set exponentiation is a subset of the power set of the cross product of its arguments.

Assertion

Ref	Expression
mapsspw	|- (B e. R -> (A ^m B) (_ P~(B X. A))

Proof of Theorem mapsspw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 4330	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. R) -> (A ^m B) = {f | f:B-->A})
2		fssxp 3637	. . . . . 6 |- (f:B-->A -> f (_ (B X. A))
3	2	ss2abi 2120	. . . . 5 |- {f | f:B-->A} (_ {f | f (_ (B X. A)}
4		df-pw 2402	. . . . 5 |- P~(B X. A) = {f | f (_ (B X. A)}
5	3, 4	sseqtr4 2094	. . . 4 |- {f | f:B-->A} (_ P~(B X. A)
6	5	a1i 8	. . 3 |- ((A e. V /\ B e. R) -> {f | f:B-->A} (_ P~(B X. A))
7	1, 6	eqsstrd 2095	. 2 |- ((A e. V /\ B e. R) -> (A ^m B) (_ P~(B X. A))
8		relxp 3255	. . . . . 6 |- Rel (V X. V)
9		fnmap 4329	. . . . . . . 8 |- ^m Fn (V X. V)
10		fndm 3587	. . . . . . . 8 |- ( ^m Fn (V X. V) -> dom ^m = (V X. V))
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- dom ^m = (V X. V)
12	11	releqi 3244	. . . . . 6 |- (Rel dom ^m <-> Rel (V X. V))
13	8, 12	mpbir 190	. . . . 5 |- Rel dom ^m
14	13	oprprc1 3984	. . . 4 |- (-. A e. V -> (A ^m B) = (/))
15		0ss 2301	. . . . 5 |- (/) (_ P~(B X. A)
16	15	a1i 8	. . . 4 |- (-. A e. V -> (/) (_ P~(B X. A))
17	14, 16	eqsstrd 2095	. . 3 |- (-. A e. V -> (A ^m B) (_ P~(B X. A))
18	17	adantr 389	. 2 |- ((-. A e. V /\ B e. R) -> (A ^m B) (_ P~(B X. A))
19	7, 18	pm2.61ian 476	1 |- (B e. R -> (A ^m B) (_ P~(B X. A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  P~cpw 2401   X. cxp 3168  dom cdm 3170  Rel wrel 3175   Fn wfn 3177  -->wf 3178  (class class class)co 3963   ^m cm 4322

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-map 4324

Copyright terms: Public domain