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Theorem mapunen 6984
Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )

Proof of Theorem mapunen
StepHypRef Expression
1 ovex 5803 . . 3  |-  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
21a1i 12 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  e.  _V )
3 ovex 5803 . . . 4  |-  ( C  ^m  A )  e. 
_V
4 ovex 5803 . . . 4  |-  ( C  ^m  B )  e. 
_V
53, 4xpex 4775 . . 3  |-  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  e. 
_V
65a1i 12 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  e.  _V )
7 elmapi 6746 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  x : ( A  u.  B ) --> C )
8 ssun1 3299 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
9 fssres 5332 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  A  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  A ) : A --> C )
107, 8, 9sylancl 646 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  A ) : A --> C )
11 ssun2 3300 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
12 fssres 5332 . . . . 5  |-  ( ( x : ( A  u.  B ) --> C  /\  B  C_  ( A  u.  B )
)  ->  ( x  |`  B ) : B --> C )
137, 11, 12sylancl 646 . . . 4  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  B ) : B --> C )
1410, 13jca 520 . . 3  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) )
15 opelxp 4693 . . . 4  |-  ( <.
( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) )  <-> 
( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) ) )
16 simpl3 965 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  C  e.  X
)
17 simpl1 963 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  A  e.  V
)
18 elmapg 6739 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  A  e.  V )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
1916, 17, 18syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A )  <-> 
( x  |`  A ) : A --> C ) )
20 simpl2 964 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  B  e.  W
)
21 elmapg 6739 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  X  /\  B  e.  W )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2216, 20, 21syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B )  <-> 
( x  |`  B ) : B --> C ) )
2319, 22anbi12d 694 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( x  |`  A )  e.  ( C  ^m  A
)  /\  ( x  |`  B )  e.  ( C  ^m  B ) )  <->  ( ( x  |`  A ) : A --> C  /\  ( x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2415, 23syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  <->  ( (
x  |`  A ) : A --> C  /\  (
x  |`  B ) : B --> C ) ) )
2514, 24syl5ibr 214 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B )
)  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )
26 xp1st 6069 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A
) )
2726adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A ) )
28 elmapi 6746 . . . . . 6  |-  ( ( 1st `  y )  e.  ( C  ^m  A )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
2927, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 1st `  y ) : A --> C )
30 xp2nd 6070 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B
) )
3130adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B ) )
32 elmapi 6746 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  y )  e.  ( C  ^m  B )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
3331, 32syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( 2nd `  y ) : B --> C )
34 simplr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
35 fun2 5330 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  -> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C )
3629, 33, 34, 35syl21anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C )
3736ex 425 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
38 unexg 4479 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  u.  B
)  e.  _V )
3917, 20, 38syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( A  u.  B )  e.  _V )
40 elmapg 6739 . . . 4  |-  ( ( C  e.  X  /\  ( A  u.  B
)  e.  _V )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  <->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) ) : ( A  u.  B ) --> C ) )
4116, 39, 40syl2anc 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  <-> 
( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) ) : ( A  u.  B
) --> C ) )
4237, 41sylibrd 227 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) )  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) ) ) )
43 1st2nd2 6079 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  ( 2nd `  y ) >. )
4443ad2antll 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y
) >. )
4529adantrl 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 1st `  y
) : A --> C )
4633adantrl 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( 2nd `  y
) : B --> C )
47 res0 4933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  (/)
48 res0 4933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) )  =  (/)
4947, 48eqtr4i 2279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  y )  |`  (/) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  (/) )
50 simplr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
5150reseq2d 4929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 1st `  y )  |`  (/) ) )
5250reseq2d 4929 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  (/) ) )
5349, 51, 523eqtr4a 2314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y )  |`  ( A  i^i  B ) ) )
54 fresaunres1 5338 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A )  =  ( 1st `  y ) )
5545, 46, 53, 54syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A )  =  ( 1st `  y
) )
56 fresaunres2 5337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1st `  y
) : A --> C  /\  ( 2nd `  y ) : B --> C  /\  ( ( 1st `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) )  =  ( ( 2nd `  y
)  |`  ( A  i^i  B ) ) )  -> 
( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y ) )
5745, 46, 53, 56syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )  =  ( 2nd `  y
) )
5855, 57opeq12d 3764 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>.  =  <. ( 1st `  y ) ,  ( 2nd `  y )
>. )
5944, 58eqtr4d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
60 reseq1 4923 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  A )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) )
61 reseq1 4923 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( x  |`  B )  =  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) )
6260, 61opeq12d 3764 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y
) )  |`  B )
>. )
6362eqeq2d 2267 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  <->  y  =  <. ( ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  A ) ,  ( ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  |`  B ) >. )
)
6459, 63syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  -> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) )
65 ffn 5313 . . . . . . . 8  |-  ( x : ( A  u.  B ) --> C  ->  x  Fn  ( A  u.  B ) )
66 fnresdm 5277 . . . . . . . 8  |-  ( x  Fn  ( A  u.  B )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
677, 65, 663syl 20 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ->  (
x  |`  ( A  u.  B ) )  =  x )
6867ad2antrl 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  x )
6968eqcomd 2261 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) )
70 vex 2760 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
7170resex 4969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  A )  e.  _V
7270resex 4969 . . . . . . . . 9  |-  ( x  |`  B )  e.  _V
7371, 72op1std 6050 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( x  |`  A ) )
7471, 72op2ndd 6051 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( x  |`  B ) )
7573, 74uneq12d 3291 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  (
x  |`  B ) ) )
76 resundi 4943 . . . . . . 7  |-  ( x  |`  ( A  u.  B
) )  =  ( ( x  |`  A )  u.  ( x  |`  B ) )
7775, 76syl6eqr 2306 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  =  ( x  |`  ( A  u.  B
) ) )
7877eqeq2d 2267 . . . . 5  |-  ( y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  x  =  ( x  |`  ( A  u.  B ) ) ) )
7969, 78syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( y  = 
<. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >.  ->  x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) ) ) )
8064, 79impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X )  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  /\  (
x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B ) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B
) ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y
)  u.  ( 2nd `  y ) )  <->  y  =  <. ( x  |`  A ) ,  ( x  |`  B ) >. )
)
8180ex 425 . 2  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( ( x  e.  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  /\  y  e.  ( ( C  ^m  A )  X.  ( C  ^m  B ) ) )  ->  ( x  =  ( ( 1st `  y )  u.  ( 2nd `  y ) )  <-> 
y  =  <. (
x  |`  A ) ,  ( x  |`  B )
>. ) ) )
822, 6, 25, 42, 81en3d 6852 1  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W  /\  C  e.  X
)  /\  ( A  i^i  B )  =  (/) )  ->  ( C  ^m  ( A  u.  B
) )  ~~  (
( C  ^m  A
)  X.  ( C  ^m  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    u. cun 3111    i^i cin 3112    C_ wss 3113   (/)c0 3416   <.cop 3603   class class class wbr 3983    X. cxp 4645    |` cres 4649    Fn wfn 4654   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   1stc1st 6040   2ndc2nd 6041    ^m cmap 6726    ~~ cen 6814
This theorem is referenced by:  map2xp  6985  mapdom2  6986  mapcdaen  7764  ackbij1lem5  7804  hashmap  11338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-map 6728  df-en 6818
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