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Theorem max0add 12043
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0re 9025 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 id 20 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
4 recn 9014 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
54adantr 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9199 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  0 )  =  A )
7 iftrue 3689 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
87adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
9 le0neg2 9470 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
109biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
1110adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  <_ 
0 )
12 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  0  <_  -u A )
13 renegcl 9297 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
1413ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  e.  RR )
15 letri3 9094 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1614, 1, 15sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1711, 12, 16mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  =  0 )
1817ifeq1da 3708 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 ) )
19 ifid 3715 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 )  =  0
2018, 19syl6eq 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
218, 20oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  + 
0 ) )
22 absid 12029 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
236, 21, 223eqtr4d 2430 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
244adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
2524negcld 9331 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u A  e.  CC )
2625addid2d 9200 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  +  -u A )  =  -u A )
27 letri3 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
281, 27mpan2 653 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2928biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  A  =  0 ) )
3029impl 604 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  A
)  ->  A  = 
0 )
3130ifeq1da 3708 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  0 ,  0 ) )
32 ifid 3715 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  A , 
0 ,  0 )  =  0
3331, 32syl6eq 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
34 le0neg1 9469 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3534biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
36 iftrue 3689 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3833, 37oveq12d 6039 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  + 
-u A ) )
39 absnid 12031 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
4026, 38, 393eqtr4d 2430 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
412, 3, 23, 40lecasei 9113 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3683   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    + caddc 8927    <_ cle 9055   -ucneg 9225   abscabs 11967
This theorem is referenced by:  iblabslem  19587  iblabsnclem  25969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969
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