MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0add Unicode version

Theorem max0add 11811
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 id 19 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
4 recn 8843 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
54adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9028 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  0 )  =  A )
7 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
87adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
9 le0neg2 9299 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
109biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
1110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  <_ 
0 )
12 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  0  <_  -u A )
13 renegcl 9126 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  e.  RR )
15 letri3 8923 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1614, 1, 15sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1711, 12, 16mpbir2and 888 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  =  0 )
1817ifeq1da 3603 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 ) )
19 ifid 3610 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 )  =  0
2018, 19syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
218, 20oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  + 
0 ) )
22 absid 11797 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
236, 21, 223eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
244adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
2524negcld 9160 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u A  e.  CC )
2625addid2d 9029 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  +  -u A )  =  -u A )
27 letri3 8923 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
281, 27mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2928biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  A  =  0 ) )
3029impl 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  A
)  ->  A  = 
0 )
3130ifeq1da 3603 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  0 ,  0 ) )
32 ifid 3610 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  A , 
0 ,  0 )  =  0
3331, 32syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
34 le0neg1 9298 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3534biimpa 470 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
36 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3735, 36syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3833, 37oveq12d 5892 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  + 
-u A ) )
39 absnid 11799 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
4026, 38, 393eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
412, 3, 23, 40lecasei 8942 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    <_ cle 8884   -ucneg 9054   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  iblabslem  19198  iblabsnclem  25014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
  Copyright terms: Public domain W3C validator