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Theorem max0add 11789
Description: The sum of the positive and negative part functions is the absolute value function over the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0add  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )

Proof of Theorem max0add
StepHypRef Expression
1 0re 8833 . . 3  |-  0  e.  RR
21a1i 12 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
3 id 21 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
4 recn 8822 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
54adantr 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  A  e.  CC )
65addid1d 9007 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( A  +  0 )  =  A )
7 iftrue 3572 . . . . 5  |-  ( 0  <_  A  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
87adantl 454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  A )
9 le0neg2 9278 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  -u A  <_ 
0 ) )
109biimpa 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u A  <_  0 )
1110adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  <_ 
0 )
12 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  0  <_  -u A )
13 renegcl 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  e.  RR )
15 letri3 8902 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1614, 1, 15sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  ( -u A  =  0  <->  ( -u A  <_  0  /\  0  <_  -u A ) ) )
1711, 12, 16mpbir2and 890 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  -u A
)  ->  -u A  =  0 )
1817ifeq1da 3591 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 ) )
19 ifid 3598 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  -u A , 
0 ,  0 )  =  0
2018, 19syl6eq 2332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  0 )
218, 20oveq12d 5837 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( A  + 
0 ) )
22 absid 11775 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( abs `  A
)  =  A )
236, 21, 223eqtr4d 2326 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
244adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
2524negcld 9139 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  -u A  e.  CC )
2625addid2d 9008 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( 0  +  -u A )  =  -u A )
27 letri3 8902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  =  0  <-> 
( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
281, 27mpan2 654 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =  0  <->  ( A  <_  0  /\  0  <_  A ) ) )
2928biimprd 216 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  <_  0  /\  0  <_  A )  ->  A  =  0 ) )
3029impl 605 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  A
)  ->  A  = 
0 )
3130ifeq1da 3591 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  if ( 0  <_  A ,  0 ,  0 ) )
32 ifid 3598 . . . . 5  |-  if ( 0  <_  A , 
0 ,  0 )  =  0
3331, 32syl6eq 2332 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  =  0 )
34 le0neg1 9277 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
3534biimpa 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
0  <_  -u A )
36 iftrue 3572 . . . . 5  |-  ( 0  <_  -u A  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3735, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  ->  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 )  =  -u A
)
3833, 37oveq12d 5837 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( 0  + 
-u A ) )
39 absnid 11777 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( abs `  A
)  =  -u A
)
4026, 38, 393eqtr4d 2326 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <_  0 )  -> 
( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A
) )
412, 3, 23, 40lecasei 8921 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  A ,  A ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u A ,  -u A ,  0 ) )  =  ( abs `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ifcif 3566   class class class wbr 4024   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   RRcr 8731   0cc0 8732    + caddc 8735    <_ cle 8863   -ucneg 9033   abscabs 11713
This theorem is referenced by:  iblabslem  19176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-rp 10350  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715
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