MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max1ALT Unicode version

Theorem max1ALT 10517
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. This version of max1 10516 omits the  B  e.  RR antecedent. Although it doesn't exploit undefined behavior, it is still considered poor style, and the use of max1 10516 is preferred. (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.) (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max1ALT  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )

Proof of Theorem max1ALT
StepHypRef Expression
1 leid 8918 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  A )
2 iffalse 3574 . . . 4  |-  ( -.  A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  A )
32breq2d 4037 . . 3  |-  ( -.  A  <_  B  ->  ( A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  <->  A  <_  A ) )
41, 3syl5ibrcom 213 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -.  A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) ) )
5 id 19 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  B )
6 iftrue 3573 . . 3  |-  ( A  <_  B  ->  if ( A  <_  B ,  B ,  A )  =  B )
75, 6breqtrrd 4051 . 2  |-  ( A  <_  B  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
84, 7pm2.61d2 152 1  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  if ( A  <_  B ,  B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1686   ifcif 3567   class class class wbr 4025   RRcr 8738    <_ cle 8870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-pre-lttri 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875
  Copyright terms: Public domain W3C validator