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Theorem mayete3i 22309
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3360 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 22038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 22038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 21814 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2377 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 21588 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 9818 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 9441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1813, 14reccli 9492 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 21589 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1267 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2319 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 21642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 22293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 22293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
42 inss1 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 22038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 21814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
4733pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
483pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
4937pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
50 hvadd4 21617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5341, 52eqtrd 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 22293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
5930, 58sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6028, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 21594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 21594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
6655pjhcli 21999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
67 hvadd4 21617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6911, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
71 inss1 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3178 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 22294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
7973, 74, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
8070, 79oveq12d 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
81 hvmulcl 21595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 21620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( 2  .h  x ) )
87 hvaddcl 21594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 21594 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 21621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9288, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9311, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9486, 93eqtr3d 2319 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9533pjcli 21998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  B )
9637pjcli 21998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
9733chshii 21809 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 21809 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 21945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 21998 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
10297, 98shscli 21898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 21809 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 21945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
105100, 101, 104syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
10611, 105syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2359 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 21898 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 21799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2359 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3186 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 22039 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 22038 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 21809 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 21958 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3190 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 22039 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3190 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3213 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    / cdiv 9425   2c2 9797   ~Hchil 21501    +h cva 21502    .h csm 21503    -h cmv 21507   SHcsh 21510   CHcch 21511   _|_cort 21512    +H cph 21513    vH chj 21515   proj 
hcpjh 21519
This theorem is referenced by:  mayetes3i  22311
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819  ax-hilex 21581  ax-hfvadd 21582  ax-hvcom 21583  ax-hvass 21584  ax-hv0cl 21585  ax-hvaddid 21586  ax-hfvmul 21587  ax-hvmulid 21588  ax-hvmulass 21589  ax-hvdistr1 21590  ax-hvdistr2 21591  ax-hvmul0 21592  ax-hfi 21660  ax-his1 21663  ax-his2 21664  ax-his3 21665  ax-his4 21666  ax-hcompl 21783
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-acn 7577  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-seq 11049  df-exp 11107  df-hash 11340  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-lm 16961  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cfil 18683  df-cau 18684  df-cmet 18685  df-grpo 20860  df-gid 20861  df-ginv 20862  df-gdiv 20863  df-ablo 20951  df-subgo 20971  df-vc 21104  df-nv 21150  df-va 21153  df-ba 21154  df-sm 21155  df-0v 21156  df-vs 21157  df-nmcv 21158  df-ims 21159  df-dip 21276  df-ssp 21300  df-ph 21393  df-cbn 21444  df-hnorm 21550  df-hba 21551  df-hvsub 21553  df-hlim 21554  df-hcau 21555  df-sh 21788  df-ch 21803  df-oc 21833  df-ch0 21834  df-shs 21889  df-chj 21891  df-pjh 21976
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