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Theorem mayete3i 22620
Description: Mayet's equation E3. Part of Theorem 4.1 of [Mayet3] p. 1223. (Contributed by NM, 22-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mayete3.a  |-  A  e. 
CH
mayete3.b  |-  B  e. 
CH
mayete3.c  |-  C  e. 
CH
mayete3.d  |-  D  e. 
CH
mayete3.f  |-  F  e. 
CH
mayete3.g  |-  G  e. 
CH
mayete3.ac  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
mayete3.af  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.cf  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
mayete3.ab  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
mayete3.cd  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
mayete3.fg  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
mayete3.x  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
mayete3.y  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
mayete3.z  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
Assertion
Ref Expression
mayete3i  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z

Proof of Theorem mayete3i
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3446 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  Y ) )
2 mayete3.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  e. 
CH
3 mayete3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  e. 
CH
42, 3chjcli 22349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  vH  C )  e. 
CH
5 mayete3.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
CH
64, 5chjcli 22349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  vH  C )  vH  F )  e. 
CH
76cheli 22125 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  ->  x  e.  ~H )
8 mayete3.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( ( A  vH  C )  vH  F
)
97, 8eleq2s 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  ->  x  e.  ~H )
109adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  X  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  ~H )
111, 10sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ~H )
12 ax-hvmulid 21899 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  x )
13 2cn 9963 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
14 2ne0 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  2  =/=  0
15 recid2 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  =  1 )
1613, 14, 15mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
1716oveq1i 5991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 )  .h  x )  =  ( 1  .h  x
)
1813, 14reccli 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
19 ax-hvmulass 21900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2018, 13, 19mp3an12 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 1  / 
2 )  x.  2 )  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2117, 20syl5eqr 2412 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
1  .h  x )  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2212, 21eqtr3d 2400 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ~H  ->  x  =  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) ) )
2311, 22syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( 1  / 
2 )  .h  (
2  .h  x ) ) )
24 hv2times 21953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  =  ( x  +h  x ) )
2524oveq1d 5996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( 2  .h  x
)  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x ) )
2611, 25syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( x  +h  x )  +h  x
) )
27 inss2 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Y
2827sseli 3262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  Y )
29 mayete3.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Y  =  ( ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  i^i  ( F  vH  G ) )
3029elin2 3447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Y  <->  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) ) )
31 elin 3446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  <->  ( x  e.  ( A  vH  B
)  /\  x  e.  ( C  vH  D ) ) )
32 mayete3.ab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  A  C_  ( _|_ `  B )
33 mayete3.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  e. 
CH
342, 33pjdsi 22604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  A  C_  ( _|_ `  B
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
3532, 34mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) ) )
36 mayete3.cd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  C  C_  ( _|_ `  D )
37 mayete3.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  D  e. 
CH
383, 37pjdsi 22604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  ( C  vH  D )  /\  C  C_  ( _|_ `  D
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
3936, 38mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( C  vH  D )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )
4035, 39oveqan12d 6000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A  vH  B )  /\  x  e.  ( C  vH  D ) )  -> 
( x  +h  x
)  =  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) ) )
4131, 40sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  B ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  C ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
42 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  C_  ( A  vH  B )
4342sseli 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  x  e.  ( A  vH  B
) )
442, 33chjcli 22349 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
4544cheli 22125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( A  vH  B )  ->  x  e.  ~H )
462pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  A
) `  x )  e.  ~H )
4733pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  ~H )
483pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  C
) `  x )  e.  ~H )
4937pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  ~H )
50 hvadd4 21928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  C ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  B ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  C ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5146, 47, 48, 49, 50syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5243, 45, 513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  B
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  C
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
5341, 52eqtrd 2398 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D
) )  ->  (
x  +h  x )  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) ) )
54 mayete3.fg . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  C_  ( _|_ `  G )
55 mayete3.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  G  e. 
CH
565, 55pjdsi 22604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( F  vH  G )  /\  F  C_  ( _|_ `  G
) )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5754, 56mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( F  vH  G )  ->  x  =  ( ( (
proj  h `  F ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )
5853, 57oveqan12d 6000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  B )  i^i  ( C  vH  D ) )  /\  x  e.  ( F  vH  G ) )  -> 
( ( x  +h  x )  +h  x
)  =  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
5930, 58sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Y  ->  (
( x  +h  x
)  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) ) )
6028, 59syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
x  +h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) ) )
61 hvaddcl 21905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  C ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H )
6246, 48, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  e.  ~H )
63 hvaddcl 21905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )
6447, 49, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ~H )
655pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  F
) `  x )  e.  ~H )
6655pjhcli 22310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  ~H )
67 hvadd4 21928 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  e.  ~H  /\  ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H )  /\  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )
)  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6862, 64, 65, 66, 67syl22anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) ) )  +h  ( ( ( proj  h `  F
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  G ) `  x
) ) )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
6911, 68syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) ) )  +h  ( ( ( proj 
h `  F ) `  x )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
7026, 60, 693eqtrd 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
2  .h  x )  +h  x )  =  ( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) ) )
71 inss1 3477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  i^i  Y )  C_  X
7271sseli 3262 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  X )
7372, 8syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F
) )
74 mayete3.ac . . . . . . . . . . . 12  |-  A  C_  ( _|_ `  C )
75 mayete3.af . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  C_  ( _|_ `  F )
76 mayete3.cf . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  C_  ( _|_ `  F )
772, 3, 5pjds3i 22605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ( ( A  vH  C
)  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C ) )  /\  ( A  C_  ( _|_ `  F )  /\  C  C_  ( _|_ `  F
) ) )  ->  x  =  ( (
( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) ) )
7875, 76, 77mpanr12 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ( ( A  vH  C )  vH  F )  /\  A  C_  ( _|_ `  C
) )  ->  x  =  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
7973, 74, 78sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  =  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )
8070, 79oveq12d 5999 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) ) )
81 hvmulcl 21906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  ~H )  ->  ( 2  .h  x
)  e.  ~H )
8213, 81mpan 651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
2  .h  x )  e.  ~H )
83 hvpncan 21931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .h  x
)  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( 2  .h  x )  +h  x )  -h  x
)  =  ( 2  .h  x ) )
8482, 83mpancom 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( 2  .h  x )  +h  x
)  -h  x )  =  ( 2  .h  x ) )
8511, 84syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( 2  .h  x
)  +h  x )  -h  x )  =  ( 2  .h  x
) )
8680, 85eqtr3d 2400 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( 2  .h  x ) )
87 hvaddcl 21905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  F ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H )
8862, 65, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) )  e.  ~H )
89 hvaddcl 21905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )
9064, 66, 89syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ~H )
91 hvpncan2 21932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  e.  ~H  /\  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( ( ( proj  h `  A ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  C ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  F ) `  x ) )  +h  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )  -h  (
( ( ( proj 
h `  A ) `  x )  +h  (
( proj  h `  C
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  F ) `
 x ) ) )  =  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )
9288, 90, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9311, 92syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( ( (
proj  h `  A ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
)  +h  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) ) )  -h  ( ( ( ( proj  h `  A
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  C ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  F
) `  x )
) )  =  ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) ) )
9486, 93eqtr3d 2400 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  =  ( ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
) )
9533pjcli 22309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  B
) `  x )  e.  B )
9637pjcli 22309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  D
) `  x )  e.  D )
9733chshii 22120 . . . . . . . . . . . 12  |-  B  e.  SH
9837chshii 22120 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  SH
9997, 98shsvai 22256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( proj  h `  B ) `  x
)  e.  B  /\  ( ( proj  h `  D ) `  x
)  e.  D )  ->  ( ( (
proj  h `  B ) `
 x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  e.  ( B  +H  D ) )
10095, 96, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  e.  ( B  +H  D ) )
10155pjcli 22309 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( proj  h `  G
) `  x )  e.  G )
10297, 98shscli 22209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  +H  D )  e.  SH
10355chshii 22120 . . . . . . . . . . 11  |-  G  e.  SH
104102, 103shsvai 22256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  e.  ( B  +H  D )  /\  ( ( proj  h `  G ) `  x
)  e.  G )  ->  ( ( ( ( proj  h `  B
) `  x )  +h  ( ( proj  h `  D ) `  x
) )  +h  (
( proj  h `  G
) `  x )
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
105100, 101, 104syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~H  ->  (
( ( ( proj 
h `  B ) `  x )  +h  (
( proj  h `  D
) `  x )
)  +h  ( (
proj  h `  G ) `
 x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
10611, 105syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
( ( proj  h `  B ) `  x
)  +h  ( (
proj  h `  D ) `
 x ) )  +h  ( ( proj 
h `  G ) `  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
10794, 106eqeltrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
108102, 103shscli 22209 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  e.  SH
109 shmulcl 22110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  +H  D )  +H  G
)  e.  SH  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( 2  .h  x
)  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )  ->  ( ( 1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x
) )  e.  ( ( B  +H  D
)  +H  G ) )
110108, 18, 109mp3an12 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  .h  x )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G )  ->  (
( 1  /  2
)  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G ) )
111107, 110syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  ( (
1  /  2 )  .h  ( 2  .h  x ) )  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
11223, 111eqeltrd 2440 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X  i^i  Y )  ->  x  e.  ( ( B  +H  D )  +H  G
) )
113112ssriv 3270 . . . 4  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  +H  D )  +H  G
)
11433, 37chsleji 22350 . . . . 5  |-  ( B  +H  D )  C_  ( B  vH  D )
11533, 37chjcli 22349 . . . . . . 7  |-  ( B  vH  D )  e. 
CH
116115chshii 22120 . . . . . 6  |-  ( B  vH  D )  e.  SH
117102, 116, 103shlessi 22269 . . . . 5  |-  ( ( B  +H  D ) 
C_  ( B  vH  D )  ->  (
( B  +H  D
)  +H  G ) 
C_  ( ( B  vH  D )  +H  G ) )
118114, 117ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( B  +H  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
119113, 118sstri 3274 . . 3  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  +H  G
)
120115, 55chsleji 22350 . . 3  |-  ( ( B  vH  D )  +H  G )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
121119, 120sstri 3274 . 2  |-  ( X  i^i  Y )  C_  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
122 mayete3.z . 2  |-  Z  =  ( ( B  vH  D )  vH  G
)
123121, 122sseqtr4i 3297 1  |-  ( X  i^i  Y )  C_  Z
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   CCcc 8882   0cc0 8884   1c1 8885    x. cmul 8889    / cdiv 9570   2c2 9942   ~Hchil 21812    +h cva 21813    .h csm 21814    -h cmv 21818   SHcsh 21821   CHcch 21822   _|_cort 21823    +H cph 21824    vH chj 21826   proj 
hcpjh 21830
This theorem is referenced by:  mayetes3i  22622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cc 8208  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964  ax-hilex 21892  ax-hfvadd 21893  ax-hvcom 21894  ax-hvass 21895  ax-hv0cl 21896  ax-hvaddid 21897  ax-hfvmul 21898  ax-hvmulid 21899  ax-hvmulass 21900  ax-hvdistr1 21901  ax-hvdistr2 21902  ax-hvmul0 21903  ax-hfi 21971  ax-his1 21974  ax-his2 21975  ax-his3 21976  ax-his4 21977  ax-hcompl 22094
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-omul 6626  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-acn 7722  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-seq 11211  df-exp 11270  df-hash 11506  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-lm 17176  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cfil 18896  df-cau 18897  df-cmet 18898  df-grpo 21169  df-gid 21170  df-ginv 21171  df-gdiv 21172  df-ablo 21260  df-subgo 21280  df-vc 21415  df-nv 21461  df-va 21464  df-ba 21465  df-sm 21466  df-0v 21467  df-vs 21468  df-nmcv 21469  df-ims 21470  df-dip 21587  df-ssp 21611  df-ph 21704  df-cbn 21755  df-hnorm 21861  df-hba 21862  df-hvsub 21864  df-hlim 21865  df-hcau 21866  df-sh 22099  df-ch 22114  df-oc 22144  df-ch0 22145  df-shs 22200  df-chj 22202  df-pjh 22287
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