MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfdm2 Unicode version

Theorem mbfdm2 19097
Description: The domain of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmptcl.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfmptcl.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbfdm2  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfdm2
StepHypRef Expression
1 mbfmptcl.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
21ralrimiva 2702 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
3 dmmptg 5252 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  =  A )
42, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  =  A )
5 mbfmptcl.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 mbfdm 19087 . . 3  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  ->  dom  (
x  e.  A  |->  B )  e.  dom  vol )
75, 6syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  dom  ( x  e.  A  |->  B )  e. 
dom  vol )
84, 7eqeltrrd 2433 1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    e. cmpt 4158   dom cdm 4771   volcvol 18927  MblFncmbf 19073
This theorem is referenced by:  mbfss  19105  mbfpos  19110  mbfposr  19111  mbfmulc2  19122  mbfi1flim  19182  itgge0  19269  itgss3  19273  itgless  19275  ibladdlem  19278  ibladd  19279  itgaddlem1  19281  iblabslem  19286  itgsplit  19294  bddmulibl  19297  itggt0  19300  itgcn  19301  ibladdnclem  25496  itgaddnclem1  25498  iblabsnclem  25503  itgmulc2nclem2  25507  itgmulc2nc  25508  itgabsnc  25509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-er 6747  df-pm 6863  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-2 9894  df-ioo 10752  df-cj 11680  df-re 11681  df-mbf 19079
  Copyright terms: Public domain W3C validator