MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfi1flim Unicode version

Theorem mbfi1flim 19026
Description: Any real measurable function has a sequence of simple functions that converges to it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1flim.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1flim.2  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
Assertion
Ref Expression
mbfi1flim  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Distinct variable groups:    g, n, x, A    g, F, n, x    ph, g, n, x

Proof of Theorem mbfi1flim
StepHypRef Expression
1 iftrue 3531 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  ( F `
 y ) )
21mpteq2ia 4062 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) )
3 mbfi1flim.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : A --> RR )
43feqmptd 5495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  A  |->  ( F `
 y ) ) )
5 mbfi1flim.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
64, 5eqeltrrd 2331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( F `  y
) )  e. MblFn )
72, 6syl5eqel 2340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
8 fvex 5458 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
9 c0ex 8786 . . . . . . . 8  |-  0  e.  _V
108, 9ifex 3583 . . . . . . 7  |-  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
1110a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  e.  _V )
127, 11mbfdm2 18941 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
13 mblss 18838 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1412, 13syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
15 rembl 18846 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
1615a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
17 eldifn 3260 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  y  e.  A )
1817adantl 454 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  y  e.  A )
19 iffalse 3532 . . . . 5  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  0 )
2018, 19syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
2114, 16, 11, 20, 7mbfss 18949 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) )  e. MblFn )
22 ffvelrn 5583 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> RR  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  RR )
233, 22sylan 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
24 0re 8792 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2524a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  y  e.  A )  ->  0  e.  RR )
2623, 25ifclda 3552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  RR )
2726adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 )  e.  RR )
28 eqid 2256 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) )
2927, 28fmptd 5604 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) : RR --> RR )
3021, 29mbfi1flimlem 19025 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
31 ssralv 3198 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x )  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3214, 31syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) ) )
3314sselda 3141 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
34 eleq1 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  A  <->  x  e.  A ) )
35 fveq2 5444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
36 eqidd 2257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  0  =  0 )
3734, 35, 36ifbieq12d 3547 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
38 fvex 5458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
3938, 9ifex 3583 . . . . . . . . . 10  |-  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
4037, 28, 39fvmpt 5522 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
4133, 40syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  A , 
( F `  x
) ,  0 ) )
42 iftrue 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4342adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
4441, 43eqtrd 2288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( F `
 x ) )
4544breq2d 3995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4645ralbidva 2532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4732, 46sylibd 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
)  ->  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4847anim2d 550 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A , 
( F `  y
) ,  0 ) ) `  x ) )  ->  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) ) ) )
4948eximdv 2019 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  A ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) `  x
) )  ->  E. g
( g : NN --> dom  S.1  /\  A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) ) )
5030, 49mpd 16 1  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. x  e.  A  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   _Vcvv 2757    \ cdif 3110    C_ wss 3113   ifcif 3525   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   dom cdm 4647   -->wf 4655   ` cfv 4659   RRcr 8690   0cc0 8691   NNcn 9700    ~~> cli 11909   volcvol 18771  MblFncmbf 18917   S.1citg1 18918
This theorem is referenced by:  mbfmullem  19028
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-ofr 5999  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-rest 13275  df-topgen 13292  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-cmp 17062  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923  df-itg1 18924  df-0p 18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator