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Theorem mbfi1fseqlem5 19090
Description: Lemma for mbfi1fseq 19092. Verify that  G describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
21adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
3 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
42, 3sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
5 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
64, 5sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
76simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
9 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
10 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1211ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1312nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
147, 13remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
1512nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
1615nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
17 mulge0 9307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
186, 13, 16, 17syl12anc 1180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
19 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
2014, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
2120nn0red 10035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  RR )
2220nn0ge0d 10037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
2312nngt0d 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
24 divge0 9641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
2521, 22, 13, 23, 24syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
2726fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
28 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
2928oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
3027, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
3130fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3231, 29oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
33 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
34 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
3532, 33, 34ovmpt2a 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
3635adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
3725, 36breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A J x ) )
389nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
3938ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  A )
40 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( A J x )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  ( A J x )  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ) )
41 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  A  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ) )
4240, 41ifboth 3609 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( A J x )  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) )
4337, 39, 42syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) )
44 0le0 9843 . . . . 5  |-  0  <_  0
45 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
46 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
0  <->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
4745, 46ifboth 3609 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
4843, 44, 47sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
4948ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
50 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
51 fnconstg 5445 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5250, 51ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
53 df-0p 19041 . . . . . . 7  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
5453fneq1i 5354 . . . . . 6  |-  ( 0 p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5552, 54mpbir 200 . . . . 5  |-  0 p  Fn  CC
5655a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0 p  Fn  CC )
57 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
58 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
5957, 1, 33, 58mbfi1fseqlem4 19089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
60 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `  A )  e.  dom  S.1 )
6159, 60sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  e. 
dom  S.1 )
62 i1ff 19047 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  A ) : RR --> RR )
63 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( G `  A ) : RR --> RR  ->  ( G `  A )  Fn  RR )
6461, 62, 633syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  Fn  RR )
65 cnex 8834 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6665a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
67 reex 8844 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6867a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
69 ax-resscn 8810 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
70 sseqin2 3401 . . . . 5  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
7169, 70mpbi 199 . . . 4  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
72 0pval 19042 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
7372adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
7457, 1, 33, 58mbfi1fseqlem2 19087 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
7574fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
7675ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
77 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
78 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
79 icossre 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
8050, 78, 79mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
81 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
82 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
831, 81, 82syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8480, 83sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
85 nnnn0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
86 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
878, 85, 86sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
8988nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
9084, 89remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
91 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
9290, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
9392, 88nndivred 9810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
9493ralrimivva 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
9533fmpt2 6207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
9694, 95sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
97 fovrn 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
9896, 97syl3an1 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
99983expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
100 nnre 9769 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
101100ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
102 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR )
10399, 101, 102syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  RR )
104 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  RR )
105103, 50, 104sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )
106 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
107106fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10877, 105, 107syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10976, 108eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
11056, 64, 66, 68, 71, 73, 109ofrfval 6102 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
11149, 110mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( G `  A )
)
11257, 1, 33mbfi1fseqlem1 19086 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
113112ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  J : ( NN  X.  RR ) --> ( 0 [,) 
+oo ) )
114 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
115114ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
116 fovrn 6006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> ( 0 [,)  +oo )  /\  ( A  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 ) J x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
117113, 115, 77, 116syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
118 elrege0 10762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) ) )
119117, 118sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) ) )
120119simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR )
121 min1 10533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  ( A J x ) )
12299, 101, 121syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A J x ) )
123 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1249ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN0 )
125 expp1 11126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
126123, 124, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
127126oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
12836, 99eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
129128recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  CC )
13013recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
131123a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
132129, 130, 131mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
13321recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  CC )
13412nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
135133, 130, 134divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
136135oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
137127, 132, 1363eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
138 flle 10947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
13914, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
140 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
141 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
142140, 141pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
143142a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
144 lemul1 9624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
14521, 14, 143, 144syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
146139, 145mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
147126oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
1487recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
149148, 130, 131mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
150147, 149eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
151146, 150breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
152115nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
153 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( A  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
1548, 152, 153sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
155154nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
1567, 155remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR )
15714flcld 10946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  ZZ )
158 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
159 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
160157, 158, 159sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
161 flge 10953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
162156, 160, 161syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
163151, 162mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
164137, 163eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
165 reflcl 10944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
166156, 165syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
167154nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )
168 lemuldiv 9651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
169128, 166, 155, 167, 168syl112anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
170164, 169mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
171 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
172171fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
173 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  m  =  ( A  +  1 ) )
174173oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
175172, 174oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
176175fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
177176, 174oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
178 ovex 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e. 
_V
179177, 33, 178ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 ) J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
180115, 77, 179syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
181170, 36, 1803brtr4d 4069 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) )
182103, 99, 120, 122, 181letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) )
183115nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
184 min2 10534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  A
)
18599, 101, 184syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  A )
186101lep1d 9704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
187103, 101, 183, 185, 186letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A  +  1 ) )
188 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
189 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
190188, 189ifboth 3609 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  (
( A  +  1 ) J x )  /\  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 ) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
191182, 187, 190syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
192191adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
193 iftrue 3584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
194193adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
195183renegcld 9226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  e.  RR )
196101, 183lenegd 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( A  + 
1 )  <->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A ) )
197186, 196mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A )
198 iccss 10734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( A  +  1 )  <_  -u A  /\  A  <_  ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( -u A [,] A )  C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
199195, 183, 197, 186, 198syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u A [,] A ) 
C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
200199sselda 3193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
201 iftrue 3584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  ->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
202200, 201syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
203192, 194, 2023brtr4d 4069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
204 iffalse 3585 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
205204adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
206119simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) )
207152nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  +  1 ) )
208 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  +  1 ) J x )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
209 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  ( A  +  1 )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
210208, 209ifboth 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  ( ( A  +  1 ) J x )  /\  0  <_  ( A  + 
1 ) )  -> 
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
211206, 207, 210syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
212 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  <->  0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
213 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
214212, 213ifboth 3609 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
215211, 44, 214sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
216215adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
217205, 216eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
218203, 217pm2.61dan 766 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
219218ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
220 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  ( A  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( A  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
22159, 114, 220syl2an 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
222 i1ff 19047 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR )
223 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  Fn  RR )
224221, 222, 2233syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  Fn  RR )
225 inidm 3391 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
22657, 1, 33, 58mbfi1fseqlem2 19087 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
227226fveq1d 5543 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
228115, 227syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
229 ifcl 3614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  e.  RR )
230120, 183, 229syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
231 ifcl 3614 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
232230, 50, 231sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
233 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
234233fvmpt2 5624 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23577, 232, 234syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
236228, 235eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23764, 224, 68, 68, 225, 109, 236ofrfval 6102 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
238219, 237mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1 ) ) )
239111, 238jca 518 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    o Rcofr 6093   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   |_cfl 10940   ^cexp 11120  MblFncmbf 18985   S.1citg1 18986   0 pc0p 19040
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  19091
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-ovol 18840  df-vol 18841  df-mbf 18991  df-itg1 18992  df-0p 19041
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