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Theorem mbfi1fseqlem5 19640
Description: Lemma for mbfi1fseq 19642. Verify that  G describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfi1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
mbfi1fseq.3  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
mbfi1fseq.4  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y, F    x, G    m, J    ph, m, x, y    A, m, x, y
Allowed substitution hints:    G( y, m)    J( x, y)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
21adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
32ffvelrnda 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4 elrege0 11038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
53, 4sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
65simpld 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
7 2nn 10164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
8 nnnn0 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  NN0 )
9 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
107, 8, 9sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1110ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN )
1211nnred 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  RR )
136, 12remulcld 9147 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
1411nnnn0d 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  NN0 )
1514nn0ge0d 10308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( 2 ^ A
) )
16 mulge0 9576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <_  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )
175, 12, 15, 16syl12anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
18 flge0nn0 11256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  NN0 )
1913, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e. 
NN0 )
2019nn0red 10306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  RR )
2119nn0ge0d 10308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) ) )
2211nngt0d 10074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ A
) )
23 divge0 9910 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ A ) ) )  ->  0  <_  ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
25 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
2625fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
27 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  m  =  A )
2827oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ A ) )
2926, 28oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )
3029fveq2d 5761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) ) )
3130, 28oveq12d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  =  A  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( m  e.  NN ,  y  e.  RR  |->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) ) )
33 ovex 6135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e. 
_V
3431, 32, 33ovmpt2a 6233 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) ) )
3534adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) ) )
3624, 35breqtrrd 4263 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A J x ) )
378nn0ge0d 10308 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <_  A )
3837ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  A )
39 breq2 4241 . . . . . . 7  |-  ( ( A J x )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  ( A J x )  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ) )
40 breq2 4241 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  -> 
( 0  <_  A  <->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ) )
4139, 40ifboth 3794 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  ( A J x )  /\  0  <_  A )  -> 
0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) )
4236, 38, 41syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) )
43 0le0 10112 . . . . 5  |-  0  <_  0
44 breq2 4241 . . . . . 6  |-  ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
45 breq2 4241 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
0  <->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) )
4644, 45ifboth 3794 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  if (
( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
4742, 43, 46sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
4847ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
49 0re 9122 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
50 fnconstg 5660 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
52 df-0p 19591 . . . . . . 7  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
5352fneq1i 5568 . . . . . 6  |-  ( 0 p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
5451, 53mpbir 202 . . . . 5  |-  0 p  Fn  CC
5554a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0 p  Fn  CC )
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u m [,] m
) ,  if ( ( m J x )  <_  m , 
( m J x ) ,  m ) ,  0 ) ) )
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 19639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> dom  S.1 )
5958ffvelrnda 5899 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  e. 
dom  S.1 )
60 i1ff 19597 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  A ) : RR --> RR )
61 ffn 5620 . . . . 5  |-  ( ( G `  A ) : RR --> RR  ->  ( G `  A )  Fn  RR )
6259, 60, 613syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  Fn  RR )
63 cnex 9102 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6463a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  CC  e.  _V )
65 reex 9112 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
6665a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
67 ax-resscn 9078 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
68 sseqin2 3545 . . . . 5  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
6967, 68mpbi 201 . . . 4  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
70 0pval 19592 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
7170adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  CC )  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 19637 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  NN  ->  ( G `  A )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
7372fveq1d 5759 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
7473ad2antlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `  x
) )
75 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
76 pnfxr 10744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  +oo  e.  RR*
77 icossre 11022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
7849, 76, 77mp2an 655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
79 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
80 ffvelrn 5897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
811, 79, 80syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8278, 81sseldi 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
83 nnnn0 10259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  NN0 )
84 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
857, 83, 84sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
2 ^ m )  e.  NN )
8685ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  NN )
8786nnred 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( 2 ^ m
)  e.  RR )
8882, 87remulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
89 reflcl 11236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  e.  RR )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  e.  RR )
9190, 86nndivred 10079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  e.  RR )
9291ralrimivva 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  (
( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  /  ( 2 ^ m ) )  e.  RR )
9332fmpt2 6447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  A. y  e.  RR  ( ( |_
`  ( ( F `
 y )  x.  ( 2 ^ m
) ) )  / 
( 2 ^ m
) )  e.  RR  <->  J : ( NN  X.  RR ) --> RR )
9492, 93sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> RR )
95 fovrn 6245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : ( NN 
X.  RR ) --> RR 
/\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
9694, 95syl3an1 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
97963expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  e.  RR )
98 nnre 10038 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
9998ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
100 ifcl 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR )
10197, 99, 100syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  e.  RR )
102 ifcl 3799 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  e.  RR )
103101, 49, 102sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )
104 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) )
105104fvmpt2 5841 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10675, 103, 105syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10774, 106eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  A
) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) )
10855, 62, 64, 66, 69, 71, 107ofrfval 6342 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  <->  A. x  e.  RR  0  <_  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 ) ) )
10948, 108mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( G `  A )
)
11056, 1, 32mbfi1fseqlem1 19636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  J : ( NN 
X.  RR ) --> ( 0 [,)  +oo )
)
111110ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  J : ( NN  X.  RR ) --> ( 0 [,) 
+oo ) )
112 peano2nn 10043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
113112ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
114111, 113, 75fovrnd 6247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
115 elrege0 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) ) )
116114, 115sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) ) )
117116simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  e.  RR )
118 min1 10807 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  ( A J x ) )
11997, 99, 118syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A J x ) )
120 2cn 10101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
1218ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  e.  NN0 )
122 expp1 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
123120, 121, 122sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
124123oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
12535, 97eqeltrrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  RR )
126125recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  e.  CC )
12712recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  e.  CC )
128120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  2  e.  CC )
129126, 127, 128mulassd 9142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
13020recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  CC )
13111nnne0d 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ A )  =/=  0 )
132130, 127, 131divcan1d 9822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ A ) )  =  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) ) )
133132oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
134124, 129, 1333eqtr2d 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 ) )
135 flle 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
13613, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )
137 2re 10100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
138 2pos 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <  2
139137, 138pm3.2i 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
141 lemul1 9893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
14220, 13, 140, 141syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A
) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 ) ) )
143136, 142mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
144123oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
1456recnd 9145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
146145, 127, 128mulassd 9142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) )  x.  2 )  =  ( ( F `
 x )  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) ) )
147144, 146eqtr4d 2477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  =  ( ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  2 ) )
148143, 147breqtrrd 4263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
149113nnnn0d 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN0 )
150 nnexpcl 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( A  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
1517, 149, 150sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
152151nnred 10046 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
1536, 152remulcld 9147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR )
15413flcld 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  e.  ZZ )
155 2z 10343 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
156 zmulcl 10355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
157154, 155, 156sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
158 flge 11245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_ 
( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
159153, 157, 158syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) ) )
160148, 159mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  x.  2 )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
161134, 160eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
162 reflcl 11236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
163153, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
164151nngt0d 10074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )
165 lemuldiv 9920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ A ) ) )  /  (
2 ^ A ) )  e.  RR  /\  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_ 
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  <->  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
166125, 163, 152, 164, 165syl112anc 1189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) )  <_  ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  (
2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  <->  ( ( |_ `  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ A
) ) )  / 
( 2 ^ A
) )  <_  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) ) ) )
167161, 166mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( |_ `  (
( F `  x
)  x.  ( 2 ^ A ) ) )  /  ( 2 ^ A ) )  <_  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
168 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  y  =  x )
169168fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 x ) )
170 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  m  =  ( A  +  1 ) )
171170oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( 2 ^ m
)  =  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
172169, 171oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) )  =  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
173172fveq2d 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( |_ `  (
( F `  y
)  x.  ( 2 ^ m ) ) )  =  ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) ) )
174173, 171oveq12d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  ( A  +  1 )  /\  y  =  x )  ->  ( ( |_ `  ( ( F `  y )  x.  (
2 ^ m ) ) )  /  (
2 ^ m ) )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
175 ovex 6135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) )  e. 
_V
176174, 32, 175ovmpt2a 6233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  +  1 )  e.  NN  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( A  + 
1 ) J x )  =  ( ( |_ `  ( ( F `  x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
177113, 75, 176syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( A  +  1 ) J x )  =  ( ( |_
`  ( ( F `
 x )  x.  ( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( A  +  1 ) ) ) )
178167, 35, 1773brtr4d 4267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A J x )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x ) )
179101, 97, 117, 119, 178letrd 9258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( ( A  +  1 ) J x ) )
180113nnred 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
181 min2 10808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A J x )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  A
)
18297, 99, 181syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  A )
18399lep1d 9973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  A  <_  ( A  +  1 ) )
184101, 99, 180, 182, 183letrd 9258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  ( A  +  1 ) )
185 breq2 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( ( A  + 
1 ) J x )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
186 breq2 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 )  <->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
187185, 186ifboth 3794 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_  (
( A  +  1 ) J x )  /\  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A )  <_ 
( A  +  1 ) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
188179, 184, 187syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
189188adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
)  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
190 iftrue 3769 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
191190adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) )
192180renegcld 9495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  e.  RR )
19399, 180lenegd 9636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A  <_  ( A  + 
1 )  <->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A ) )
194183, 193mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  -u ( A  +  1 )  <_  -u A )
195 iccss 11009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( A  +  1 )  e.  RR  /\  ( A  +  1 )  e.  RR )  /\  ( -u ( A  +  1 )  <_  -u A  /\  A  <_  ( A  + 
1 ) ) )  ->  ( -u A [,] A )  C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
196192, 180, 194, 183, 195syl22anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u A [,] A ) 
C_  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) )
197196sselda 3334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) )
198 iftrue 3769 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) )  ->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
199197, 198syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
200189, 191, 1993brtr4d 4267 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  (
-u A [,] A
) )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
201 iffalse 3770 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  ( -u A [,] A )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
202201adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  =  0 )
203116simprd 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( ( A  + 
1 ) J x ) )
204149nn0ge0d 10308 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  +  1 ) )
205 breq2 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  1 ) J x )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( A  +  1 ) J x )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
206 breq2 4241 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  +  1 )  =  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  -> 
( 0  <_  ( A  +  1 )  <->  0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ) )
207205, 206ifboth 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  ( ( A  +  1 ) J x )  /\  0  <_  ( A  + 
1 ) )  -> 
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
208203, 204, 207syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) )
209 breq2 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  ->  (
0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  <->  0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) )
210 breq2 4241 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  ->  ( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
211209, 210ifboth 3794 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  if (
( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  /\  0  <_  0
)  ->  0  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
212208, 43, 211sylancl 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
213212adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
214202, 213eqbrtrd 4257 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( -u A [,] A ) )  ->  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
215200, 214pm2.61dan 768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )
216215ralrimiva 2795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( -u A [,] A ) ,  if ( ( A J x )  <_  A ,  ( A J x ) ,  A
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
217 ffvelrn 5897 . . . . . 6  |-  ( ( G : NN --> dom  S.1  /\  ( A  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( A  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
21858, 112, 217syl2an 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
219 i1ff 19597 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR )
220 ffn 5620 . . . . 5  |-  ( ( G `  ( A  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  Fn  RR )
221218, 219, 2203syl 19 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 ( A  + 
1 ) )  Fn  RR )
222 inidm 3535 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
22356, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 19637 . . . . . . 7  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  ( G `  ( A  +  1 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
224223fveq1d 5759 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
225113, 224syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
226 ifcl 3799 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  + 
1 ) J x )  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) )  e.  RR )
227117, 180, 226syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR )
228 ifcl 3799 . . . . . . 7  |-  ( ( if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
229227, 49, 228sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 )  e.  RR )
230 eqid 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1
) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  + 
1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  + 
1 ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
231230fvmpt2 5841 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 )  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23275, 229, 231syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
233225, 232eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( G `  ( A  +  1 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  ( -u ( A  +  1 ) [,] ( A  + 
1 ) ) ,  if ( ( ( A  +  1 ) J x )  <_ 
( A  +  1 ) ,  ( ( A  +  1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) )
23462, 221, 66, 66, 222, 107, 233ofrfval 6342 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  (
-u A [,] A
) ,  if ( ( A J x )  <_  A , 
( A J x ) ,  A ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  (
-u ( A  + 
1 ) [,] ( A  +  1 ) ) ,  if ( ( ( A  + 
1 ) J x )  <_  ( A  +  1 ) ,  ( ( A  + 
1 ) J x ) ,  ( A  +  1 ) ) ,  0 ) ) )
235216, 234mpbird 225 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( G `
 A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1 ) ) )
236109, 235jca 520 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( G `  A
)  /\  ( G `  A )  o R  <_  ( G `  ( A  +  1
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962    i^i cin 3305    C_ wss 3306   ifcif 3763   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291    X. cxp 4905   dom cdm 4907    Fn wfn 5478   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112    o Rcofr 6333   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    +oocpnf 9148   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152   -ucneg 9323    / cdiv 9708   NNcn 10031   2c2 10080   NN0cn0 10252   ZZcz 10313   [,)cico 10949   [,]cicc 10950   |_cfl 11232   ^cexp 11413  MblFncmbf 19537   S.1citg1 19538   0 pc0p 19590
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  19641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-fi 7445  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-cda 8079  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-q 10606  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ioo 10951  df-ico 10953  df-icc 10954  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-fl 11233  df-seq 11355  df-exp 11414  df-hash 11650  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-clim 12313  df-rlim 12314  df-sum 12511  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-psmet 16725  df-xmet 16726  df-met 16727  df-bl 16728  df-mopn 16729  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cmp 17481  df-ovol 19392  df-vol 19393  df-mbf 19542  df-itg1 19543  df-0p 19591
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