MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Unicode version

Theorem mbfimaopn2 19006
Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn2.2  |-  K  =  ( Jt  B )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
Dummy variable  u is distinct from all other variables.

Proof of Theorem mbfimaopn2
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  B )
21eleq2i 2348 . . . 4  |-  ( C  e.  K  <->  C  e.  ( Jt  B ) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
43cnfldtop 18287 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
5 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  C_  CC )
6 cnex 8813 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
7 ssexg 4161 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  e. 
_V )
9 elrest 13326 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
104, 8, 9sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
112, 10syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
12 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F : A --> B )
13 ffun 5356 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
14 inpreima 5613 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
163mbfimaopn 19005 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
17163ad2antl1 1119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
18 fimacnv 5618 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
19 fdm 5358 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2018, 19eqtr4d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  dom  F )
2112, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  =  dom  F )
22 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F  e. MblFn )
23 mbfdm 18977 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2521, 24eqeltrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  e.  dom  vol )
26 inmbl 18893 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " B )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) )  e. 
dom  vol )
2717, 25, 26syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " B ) )  e.  dom  vol )
2815, 27eqeltrd 2358 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
29 imaeq2 5007 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  =  ( `' F " ( u  i^i  B
) ) )
3029eleq1d 2350 . . . . 5  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  (
( `' F " C )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
)
3128, 30syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( C  =  ( u  i^i  B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3231rexlimdva 2668 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3311, 32sylbid 208 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3433imp 420 1  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    i^i cin 3152    C_ wss 3153   `'ccnv 4687   dom cdm 4688   "cima 4691   Fun wfun 5215   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   CCcc 8730   ↾t crest 13319   TopOpenctopn 13320  ℂfldccnfld 16371   Topctop 16625   volcvol 18817  MblFncmbf 18963
This theorem is referenced by:  cncombf  19007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-ixp 6813  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-hom 13226  df-cco 13227  df-rest 13321  df-topn 13322  df-topgen 13338  df-pt 13339  df-prds 13342  df-xrs 13397  df-0g 13398  df-gsum 13399  df-qtop 13404  df-imas 13405  df-xps 13407  df-mre 13482  df-mrc 13483  df-acs 13485  df-mnd 14361  df-submnd 14410  df-mulg 14486  df-cntz 14787  df-cmn 15085  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cn 16951  df-cnp 16952  df-tx 17251  df-hmeo 17440  df-xms 17879  df-ms 17880  df-tms 17881  df-cncf 18376  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969
  Copyright terms: Public domain W3C validator