MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfimaopn2 Unicode version

Theorem mbfimaopn2 19417
Description: The preimage of any set open in the subspace topology of the range of the function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfimaopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
mbfimaopn2.2  |-  K  =  ( Jt  B )
Assertion
Ref Expression
mbfimaopn2  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )

Proof of Theorem mbfimaopn2
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfimaopn2.2 . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  B )
21eleq2i 2452 . . . 4  |-  ( C  e.  K  <->  C  e.  ( Jt  B ) )
3 mbfimaopn.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
43cnfldtop 18690 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
5 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  C_  CC )
6 cnex 9005 . . . . . 6  |-  CC  e.  _V
7 ssexg 4291 . . . . . 6  |-  ( ( B  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
85, 6, 7sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  B  e. 
_V )
9 elrest 13583 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  B  e.  _V )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
104, 8, 9sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  ( Jt  B )  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
112, 10syl5bb 249 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  <->  E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i  B ) ) )
12 simpl2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F : A --> B )
13 ffun 5534 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
14 inpreima 5797 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i 
B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
1512, 13, 143syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) ) )
163mbfimaopn 19416 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
17163ad2antl1 1119 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " u )  e.  dom  vol )
18 fimacnv 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
19 fdm 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2018, 19eqtr4d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  dom  F )
2112, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  =  dom  F )
22 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  F  e. MblFn )
23 mbfdm 19388 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2422, 23syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  dom  F  e.  dom  vol )
2521, 24eqeltrd 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " B )  e.  dom  vol )
26 inmbl 19304 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  dom  vol 
/\  ( `' F " B )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " B ) )  e. 
dom  vol )
2717, 25, 26syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " B ) )  e.  dom  vol )
2815, 27eqeltrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
29 imaeq2 5140 . . . . . 6  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  =  ( `' F " ( u  i^i  B
) ) )
3029eleq1d 2454 . . . . 5  |-  ( C  =  ( u  i^i 
B )  ->  (
( `' F " C )  e.  dom  vol  <->  ( `' F " ( u  i^i  B ) )  e.  dom  vol )
)
3128, 30syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  u  e.  J )  ->  ( C  =  ( u  i^i  B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3231rexlimdva 2774 . . 3  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( E. u  e.  J  C  =  ( u  i^i 
B )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3311, 32sylbid 207 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : A
--> B  /\  B  C_  CC )  ->  ( C  e.  K  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
)
3433imp 419 1  |-  ( ( ( F  e. MblFn  /\  F : A --> B  /\  B  C_  CC )  /\  C  e.  K )  ->  ( `' F " C )  e.  dom  vol )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   "cima 4822   Fun wfun 5389   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577  ℂfldccnfld 16627   Topctop 16882   volcvol 19228  MblFncmbf 19374
This theorem is referenced by:  cncombf  19418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380
  Copyright terms: Public domain W3C validator