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Theorem mbfinf 19425
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfinf.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
mbfinf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfinf.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfinf.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfinf.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
Assertion
Ref Expression
mbfinf  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    ph, n, x, y    n, Z, x, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinf
Dummy variables  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5833 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5538 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3578 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 5027 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2583 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfinf.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
23 ffn 5532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( y  <_  z  <->  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
2625ralrn 5813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
2724, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
28 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
y
29 nfcv 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <_
30 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
3128, 29, 30nfbr 4198 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
32 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
33 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3433breq2d 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3531, 32, 34cbvral 2872 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
36 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
374fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
3836, 3, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
3938breq2d 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
y  <_  B )
)
4039ralbidva 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4135, 40syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4227, 41bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4342rexbidv 2671 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4422, 43mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )
45 infmsup 9919 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
467, 21, 44, 45syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
47 rabid 2828 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <-> 
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
483recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
4948adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  CC )
50 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
5150recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  CC )
52 negcon2 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( B  =  -u r 
<->  r  =  -u B
) )
5349, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  r  =  -u B ) )
54 eqcom 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  -u B  <->  -u B  =  r )
5553, 54syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  -u B  =  r ) )
5638adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
5756eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  B  =  -u r ) )
58 negex 9237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u B  e.  _V
59 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  =  ( n  e.  Z  |->  -u B
)
6059fvmpt2 5752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  Z  /\  -u B  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  -u B )
6158, 60mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  -u B )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  -u B
)
6362eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r  <->  -u B  =  r
) )
6455, 57, 633bitr4d 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6564ralrimiva 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6630nfeq1 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r
67 nffvmpt1 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )
6867nfeq1 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r
6966, 68nfbi 1846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )
70 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r )
7133eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  -u r ) )
72 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n ) )
7372eqeq1d 2396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r  <-> 
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  r ) )
7471, 73bibi12d 313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )  <-> 
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) ) )
7569, 70, 74cbvral 2872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  Z  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r )  <->  A. n  e.  Z  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) )
7665, 75sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. m  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7776r19.21bi 2748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
7877rexbidva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r ) )
7924adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
80 fvelrnb 5714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
823renegcld 9397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
8382, 59fmptd 5833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
8483adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
85 ffn 5532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z )
8684, 85syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z
)
87 fvelrnb 5714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z  ->  ( r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
8978, 81, 883bitr4d 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9089pm5.32da 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
91 frn 5538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  C_  RR )
9283, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  C_  RR )
9392sseld 3291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  ->  r  e.  RR ) )
9493pm4.71rd 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
9590, 94bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9647, 95syl5bb 249 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9796alrimiv 1638 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
98 nfrab1 2832 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }
99 nfcv 2524 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )
10098, 99cleqf 2548 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
10197, 100sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) )
102101supeq1d 7387 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
103102negeqd 9233 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
10446, 103eqtrd 2420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
105104mpteq2dva 4237 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1061, 105syl5eq 2432 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  -u sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
) )
107 ltso 9090 . . . . 5  |-  <  Or  RR
108107supex 7402 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
109108a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
110 eqid 2388 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
1112anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
112 mbfinf.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
113111, 112mbfneg 19410 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  -u B )  e. MblFn )
1142renegcld 9397 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  -u B  e.  RR )
115 renegcl 9297 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
116115ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  -u y  e.  RR )
117 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  y  e.  RR )
1183adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
119117, 118lenegd 9538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
120119ralbidva 2666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
121120biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
122121impr 603 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )
123 breq2 4158 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u B  <_  z  <->  -u B  <_  -u y ) )
124123ralbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u y  ->  ( A. n  e.  Z  -u B  <_  z  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
125124rspcev 2996 . . . . . 6  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\ 
A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
126116, 122, 125syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
12722, 126rexlimddv 2778 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
)
12811, 110, 8, 113, 114, 127mbfsup 19424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
129109, 128mbfneg 19410 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
130106, 129eqeltrd 2462 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   {crab 2654   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   (/)c0 3572   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395   supcsup 7381   CCcc 8922   RRcr 8923    < clt 9054    <_ cle 9055   -ucneg 9225   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421  MblFncmbf 19374
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19426
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xadd 10644  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-xmet 16620  df-met 16621  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380
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