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Theorem mbfinf 19014
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfinf.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
mbfinf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfinf.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfinf.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfinf.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
Assertion
Ref Expression
mbfinf  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    ph, n, x, y    n, Z, x, y    y, B
Dummy variables  m  r  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinf
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5360 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3462 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 4894 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2479 . . . . . . 7  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfinf.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
23 ffn 5354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq2 4028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( y  <_  z  <->  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
2625ralrn 5629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
28 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
y
29 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <_
30 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
31 nfcv 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n m
3230, 31nffv 5492 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
3328, 29, 32nfbr 4068 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
34 nfv 1606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
35 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3635breq2d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3733, 34, 36cbvral 2761 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
394fvmpt2 5569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
4038, 3, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
4140breq2d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
y  <_  B )
)
4241ralbidva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4337, 42syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4427, 43bitrd 246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4544rexbidv 2565 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4622, 45mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )
47 infmsup 9727 . . . . . 6  |-  ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
487, 21, 46, 47syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
49 rabid 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <-> 
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ) )
503recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
5150adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  CC )
52 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
5352recnd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  CC )
54 negcon2 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( B  =  -u r 
<->  r  =  -u B
) )
5551, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  r  =  -u B ) )
56 eqcom 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  -u B  <->  -u B  =  r )
5755, 56syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  -u B  =  r ) )
5840adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
5958eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  B  =  -u r ) )
60 negex 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u B  e.  _V
61 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  =  ( n  e.  Z  |->  -u B
)
6261fvmpt2 5569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  Z  /\  -u B  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  -u B )
6360, 62mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  -u B )
6463adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  -u B
)
6564eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r  <->  -u B  =  r
) )
6657, 59, 653bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6766ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6832nfeq1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r
69 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |-> 
-u B )
7069, 31nffv 5492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )
7170nfeq1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r
7268, 71nfbi 1773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )
73 nfv 1606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r )
7435eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  -u r ) )
75 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n ) )
7675eqeq1d 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r  <-> 
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  r ) )
7774, 76bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )  <-> 
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) ) )
7872, 73, 77cbvral 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  Z  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r )  <->  A. n  e.  Z  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) )
7967, 78sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. m  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
8079r19.21bi 2642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
8180rexbidva 2561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r ) )
8224adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
83 fvelrnb 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
853renegcld 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
8685, 61fmptd 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
88 ffn 5354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z )
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z
)
90 fvelrnb 5531 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z  ->  ( r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
9281, 84, 913bitr4d 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9392pm5.32da 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
94 frn 5360 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B
)  C_  RR )
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  C_  RR )
9695sseld 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  ->  r  e.  RR ) )
9796pm4.71rd 618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
9893, 97bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) )  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
9949, 98syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
10099alrimiv 1618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
101 nfrab1 2721 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }
102 nfcv 2420 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )
103101, 102cleqf 2444 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
104100, 103sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) )
105104supeq1d 7194 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
106105negeqd 9041 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
10748, 106eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
108107mpteq2dva 4107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1091, 108syl5eq 2328 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  -u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
) )
110 ltso 8898 . . . . 5  |-  <  Or  RR
111110supex 7209 . . . 4  |-  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
112111a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
113 eqid 2284 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
)
1142anassrs 631 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
115 mbfinf.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
116114, 115mbfneg 18999 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  -u B )  e. MblFn )
1172renegcld 9205 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  -u B  e.  RR )
118 renegcl 9105 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
119118ad2antrl 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  -u y  e.  RR )
120 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  y  e.  RR )
1213adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
122120, 121lenegd 9346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
123122ralbidva 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
124123biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
125124impr 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )
126 breq2 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u B  <_  z  <->  -u B  <_  -u y ) )
127126ralbidv 2564 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u y  ->  ( A. n  e.  Z  -u B  <_  z  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
128127rspcev 2885 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\ 
A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
129119, 125, 128syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
130129expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
) )
131130rexlimdva 2668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
) )
13222, 131mpd 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
)
13311, 113, 8, 116, 117, 132mbfsup 19013 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
134112, 133mbfneg 18999 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
135109, 134eqeltrd 2358 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1528    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   E.wrex 2545   {crab 2548   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   `'ccnv 4687   dom cdm 4688   ran crn 4689    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221   supcsup 7188   CCcc 8730   RRcr 8731    < clt 8862    <_ cle 8863   -ucneg 9033   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225  MblFncmbf 18963
This theorem is referenced by:  mbflimsup  19015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xadd 10448  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-xmet 16367  df-met 16368  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969
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