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Theorem mbfinf 18968
Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfinf.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfinf.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
mbfinf.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfinf.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfinf.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfinf.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
Assertion
Ref Expression
mbfinf  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    ph, n, x, y    n, Z, x, y    y, B
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinf
StepHypRef Expression
1 mbfinf.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )
2 mbfinf.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
32anass1rs 785 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2256 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5604 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5319 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfinf.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfinf.1 . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2333 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3422 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 4869 . . . . . . . 8  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2451 . . . . . . 7  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfinf.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B
)
23 ffn 5313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq2 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( y  <_  z  <->  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
2625ralrn 5588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
28 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
y
29 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n  <_
30 nfmpt1 4069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
31 nfcv 2392 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n m
3230, 31nffv 5451 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
3328, 29, 32nfbr 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
34 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ m  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
35 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3635breq2d 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3733, 34, 36cbvral 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
394fvmpt2 5528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
4038, 3, 39syl2anc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
4140breq2d 3995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
y  <_  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
y  <_  B )
)
4241ralbidva 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4337, 42syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  y  <_  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4427, 43bitrd 246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_ 
z  <->  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4544rexbidv 2537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )
4622, 45mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )
47 infmsup 9686 . . . . . 6  |-  ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) y  <_  z )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
487, 21, 46, 47syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  ) )
49 rabid 2689 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <-> 
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ) )
503recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
5150adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  CC )
52 simplr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  RR )
5352recnd 8815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  r  e.  CC )
54 negcon2 9054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  CC  /\  r  e.  CC )  ->  ( B  =  -u r 
<->  r  =  -u B
) )
5551, 53, 54syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  r  =  -u B ) )
56 eqcom 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  =  -u B  <->  -u B  =  r )
5755, 56syl6bb 254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( B  =  -u r  <->  -u B  =  r ) )
5840adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
5958eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  B  =  -u r ) )
60 negex 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u B  e.  _V
61 eqid 2256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  Z  |->  -u B
)  =  ( n  e.  Z  |->  -u B
)
6261fvmpt2 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  Z  /\  -u B  e.  _V )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  -u B )
6360, 62mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  -u B )
6463adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  -u B
)
6564eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r  <->  -u B  =  r
) )
6657, 59, 653bitr4d 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6766ralrimiva 2599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n )  =  r ) )
6832nfeq1 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r
69 nfmpt1 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |-> 
-u B )
7069, 31nffv 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )
7170nfeq1 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r
7268, 71nfbi 1738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ n
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )
73 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ m
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r )
7435eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  -u r ) )
75 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  n ) )
7675eqeq1d 2264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r  <-> 
( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  n )  =  r ) )
7774, 76bibi12d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r )  <-> 
( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) ) )
7872, 73, 77cbvral 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. m  e.  Z  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r )  <->  A. n  e.  Z  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  = 
-u r  <->  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  n
)  =  r ) )
7967, 78sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  A. m  e.  Z  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
8079r19.21bi 2614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  /\  m  e.  Z
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  -u r  <->  ( ( n  e.  Z  |-> 
-u B ) `  m )  =  r ) )
8180rexbidva 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r 
<->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) `  m )  =  r ) )
8224adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
83 fvelrnb 5490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  E. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  =  -u r ) )
853renegcld 9164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  -u B  e.  RR )
8685, 61fmptd 5604 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
8786adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR )
88 ffn 5313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z )
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z
)
90 fvelrnb 5490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B )  Fn  Z  ->  ( r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  <->  E. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  -u B ) `  m
)  =  r ) )
9281, 84, 913bitr4d 278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  r  e.  RR )  ->  ( -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
9392pm5.32da 625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
94 frn 5319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  Z  |->  -u B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B
)  C_  RR )
9586, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  C_  RR )
9695sseld 3140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  ->  r  e.  RR ) )
9796pm4.71rd 619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )  <->  ( r  e.  RR  /\  r  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) ) )
9893, 97bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( r  e.  RR  /\  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) )  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
9949, 98syl5bb 250 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
r  e.  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ) )
10099alrimiv 2013 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
101 nfrab1 2693 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }
102 nfcv 2392 . . . . . . . . 9  |-  F/_ r ran  (  n  e.  Z  |->  -u B )
103101, 102cleqf 2416 . . . . . . . 8  |-  ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B )  <->  A. r
( r  e.  {
r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  <->  r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ) )
104100, 103sylibr 205 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) }  =  ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) )
105104supeq1d 7153 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
106105negeqd 9000 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u sup ( { r  e.  RR  |  -u r  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) } ,  RR ,  <  )  = 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )
10748, 106eqtrd 2288 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  )  =  -u sup ( ran  (  n  e.  Z  |-> 
-u B ) ,  RR ,  <  )
)
108107mpteq2dva 4066 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) ) )
1091, 108syl5eq 2300 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  -u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
) )
110 ltso 8857 . . . . 5  |-  <  Or  RR
111110supex 7168 . . . 4  |-  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
112111a1i 12 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )
113 eqid 2256 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
)  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  )
)
1142anassrs 632 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
115 mbfinf.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
116114, 115mbfneg 18953 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  -u B )  e. MblFn )
1172renegcld 9164 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  -u B  e.  RR )
118 renegcl 9064 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
119118ad2antrl 711 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  -u y  e.  RR )
120 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  y  e.  RR )
1213adantlr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  B  e.  RR )
122120, 121lenegd 9305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  /\  n  e.  Z
)  ->  ( y  <_  B  <->  -u B  <_  -u y
) )
123122ralbidva 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
124123biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
125124impr 605 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )
126 breq2 3987 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  -u y  ->  ( -u B  <_  z  <->  -u B  <_  -u y ) )
127126ralbidv 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  -u y  ->  ( A. n  e.  Z  -u B  <_  z  <->  A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y ) )
128127rcla4ev 2852 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\ 
A. n  e.  Z  -u B  <_  -u y )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
129119, 125, 128syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  (
y  e.  RR  /\  A. n  e.  Z  y  <_  B ) )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z )
130129expr 601 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
) )
131130rexlimdva 2640 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  y  <_  B  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
) )
13222, 131mpd 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. z  e.  RR  A. n  e.  Z  -u B  <_  z
)
13311, 113, 8, 116, 117, 132mbfsup 18967 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
134112, 133mbfneg 18953 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  -u B ) ,  RR ,  <  ) )  e. MblFn
)
135109, 134eqeltrd 2330 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   {crab 2520   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   (/)c0 3416   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   `'ccnv 4646   dom cdm 4647   ran crn 4648    Fn wfn 4654   -->wf 4655   ` cfv 4659   supcsup 7147   CCcc 8689   RRcr 8690    < clt 8821    <_ cle 8822   -ucneg 8992   ZZcz 9977   ZZ>=cuz 10183  MblFncmbf 18917
This theorem is referenced by:  mbflimsup  18969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xadd 10406  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-xmet 16321  df-met 16322  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923
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