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Theorem mbflim 19017
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflim.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbflim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)    V( x, n)

Proof of Theorem mbflim
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 mbflim.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
4 fvex 5499 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2354 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5707 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  e.  _V
76a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  e.  _V )
82adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
9 mbflim.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
1110anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
129, 11mbfmptcl 18986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
14 eqid 2284 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
1513, 14fmptd 5645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC )
16 ffvelrn 5624 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  CC )
1715, 16sylan 459 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC )
18 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1913recld 11673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
20 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )
2120fvmpt2 5569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  B ) )
2218, 19, 21syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  B ) )
2314fvmpt2 5569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
2418, 13, 23syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
2524fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Re
`  B ) )
2622, 25eqtr4d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
2726ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
28 nfmpt1 4110 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) )
29 nfcv 2420 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
k
3028, 29nffv 5492 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )
31 nfcv 2420 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Re
32 nfmpt1 4110 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
3332, 29nffv 5492 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )
3431, 33nffv 5492 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
3530, 34nfeq 2427 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
36 nfv 1606 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
37 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n ) )
38 fveq2 5485 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3938fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
4037, 39eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) ) `
 n )  =  ( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
4135, 36, 40cbvral 2761 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
4227, 41sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
4342r19.21bi 2642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
441, 3, 7, 8, 17, 43climre 12073 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  ~~>  ( Re `  C ) )
4512ismbfcn2 18988 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
469, 45mpbid 203 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
4746simpld 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn )
4812anasss 630 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  CC )
4948recld 11673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Re `  B
)  e.  RR )
501, 2, 44, 47, 49mbflimlem 19016 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
515mptex 5707 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  e.  _V
5251a1i 12 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  e.  _V )
5313imcld 11674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
54 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )
5554fvmpt2 5569 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  B ) )
5618, 53, 55syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  B ) )
5724fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Im
`  B ) )
5856, 57eqtr4d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
5958ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
60 nfmpt1 4110 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) )
6160, 29nffv 5492 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )
62 nfcv 2420 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Im
6362, 33nffv 5492 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
6461, 63nfeq 2427 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
65 nfv 1606 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
66 fveq2 5485 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n ) )
6738fveq2d 5489 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
6866, 67eqeq12d 2298 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) ) `
 n )  =  ( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
6964, 65, 68cbvral 2761 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7059, 69sylibr 205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
7170r19.21bi 2642 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
721, 3, 52, 8, 17, 71climim 12074 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  ~~>  ( Im `  C ) )
7346simprd 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )
7448imcld 11674 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Im `  B
)  e.  RR )
751, 2, 72, 73, 74mbflimlem 19016 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
76 climcl 11967 . . . 4  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  C  e.  CC )
773, 76syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7877ismbfcn2 18988 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
7950, 75, 78mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   -->wf 5217   ` cfv 5221   CCcc 8730   RRcr 8731   ZZcz 10019   ZZ>=cuz 10225   Recre 11576   Imcim 11577    ~~> cli 11952  MblFncmbf 18963
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19073  mbfulm  19776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xadd 10448  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-xmet 16367  df-met 16368  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969
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