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Theorem mbflim 19560
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflim.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
mbflim.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflim.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
Assertion
Ref Expression
mbflim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    ph, n, x    n, Z, x
Allowed substitution hints:    B( x, n)    C( x, n)    M( x, n)    V( x, n)

Proof of Theorem mbflim
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . 3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 mbflim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 mbflim.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C )
4 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
51, 4eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5966 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  e.  _V
76a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  e.  _V )
82adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
9 mbflim.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
10 mbflim.6 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  V )
1110anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
129, 11mbfmptcl 19529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1312an32s 780 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
14 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
1513, 14fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> CC )
1615ffvelrnda 5870 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  CC )
17 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
1813recld 11999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
19 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )
2019fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Re `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  B ) )
2117, 18, 20syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  B ) )
2214fvmpt2 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
2317, 13, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
2423fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Re
`  B ) )
2521, 24eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  n
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
2625ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
27 nffvmpt1 5736 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )
28 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Re
29 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )
3028, 29nffv 5735 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
3127, 30nfeq 2579 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
32 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
33 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n ) )
34 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3534fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Re `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
3633, 35eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re
`  B ) ) `
 n )  =  ( Re `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
3731, 32, 36cbvral 2928 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  n )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
3826, 37sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) ) `  k )  =  ( Re `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
3938r19.21bi 2804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Re `  B
) ) `  k
)  =  ( Re
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
401, 3, 7, 8, 16, 39climre 12399 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Re `  B ) )  ~~>  ( Re `  C ) )
4112ismbfcn2 19531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) ) )
429, 41mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn ) )
4342simpld 446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e. MblFn )
4412anasss 629 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  CC )
4544recld 11999 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Re `  B
)  e.  RR )
461, 2, 40, 43, 45mbflimlem 19559 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
475mptex 5966 . . . . 5  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  e.  _V
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  e.  _V )
4913imcld 12000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
50 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )
5150fvmpt2 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  /\  ( Im `  B )  e.  RR )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  B ) )
5217, 49, 51syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  B ) )
5323fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )  =  ( Im
`  B ) )
5452, 53eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  n
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
5554ralrimiva 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
56 nffvmpt1 5736 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )
57 nfcv 2572 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n Im
5857, 29nffv 5735 . . . . . . . 8  |-  F/_ n
( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
) )
5956, 58nfeq 2579 . . . . . . 7  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
60 nfv 1629 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
61 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n ) )
6234fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
Im `  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n ) ) )
6361, 62eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im
`  B ) ) `
 n )  =  ( Im `  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) ) ) )
6459, 60, 63cbvral 2928 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) )  <->  A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  n )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
6555, 64sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) ) `  k )  =  ( Im `  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) ) )
6665r19.21bi 2804 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( Im `  B
) ) `  k
)  =  ( Im
`  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 k ) ) )
671, 3, 48, 8, 16, 66climim 12400 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( Im `  B ) )  ~~>  ( Im `  C ) )
6842simprd 450 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e. MblFn )
6944imcld 12000 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  -> 
( Im `  B
)  e.  RR )
701, 2, 67, 68, 69mbflimlem 19559 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
71 climcl 12293 . . . 4  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  ~~>  C  ->  C  e.  CC )
723, 71syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7372ismbfcn2 19531 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
7446, 70, 73mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454   CCcc 8988   RRcr 8989   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   Recre 11902   Imcim 11903    ~~> cli 12278  MblFncmbf 19506
This theorem is referenced by:  mbfmullem2  19616  mbfulm  20322
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512
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