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Theorem mbflimsup 19558
Description: The limit supremum of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflimsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbflimsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
mbflimsup.h  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
mbflimsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbflimsup.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
mbflimsup.5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbflimsup.6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
mbflimsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, m    ph, n, x    m, M    m, n, x, Z
Allowed substitution hints:    ph( m)    A( m)    B( x, n)    G( x, m, n)    H( x, m, n)    M( x, n)

Proof of Theorem mbflimsup
Dummy variables  i 
k  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflimsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )
2 mbflimsup.h . . . . . 6  |-  H  =  ( m  e.  RR  |->  sup ( ( ( ( n  e.  Z  |->  B ) " ( m [,)  +oo ) )  i^i  RR* ) ,  RR* ,  <  ) )
3 mbflimsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
4 fvex 5742 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  e.  _V
53, 4eqeltri 2506 . . . . . . . 8  |-  Z  e. 
_V
65mptex 5966 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  e.  _V
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  e.  _V )
8 uzssz 10505 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
93, 8eqsstri 3378 . . . . . . . 8  |-  Z  C_  ZZ
10 zssre 10289 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3357 . . . . . . 7  |-  Z  C_  RR
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  C_  RR )
13 mbflimsup.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
143uzsup 11244 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
1513, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  = 
+oo )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( Z ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
172, 7, 12, 16limsupval2 12274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  ) )
18 imassrn 5216 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  C_  ran  H
1913adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  ZZ )
20 mbflimsup.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
2120anass1rs 783 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
22 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
2321, 22fmptd 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
24 mbflimsup.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR )
25 ltpnf 10721 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )
272, 3limsupgre 12275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  /\  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <  +oo )  ->  H : RR --> RR )
2819, 23, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H : RR --> RR )
29 frn 5597 . . . . . . . 8  |-  ( H : RR --> RR  ->  ran 
H  C_  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  H 
C_  RR )
3118, 30syl5ss 3359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  C_  RR )
32 fdm 5595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H : RR --> RR  ->  dom 
H  =  RR )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  H  =  RR )
3433ineq1d 3541 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  ( RR  i^i  Z ) )
35 dfss1 3545 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z 
C_  RR  <->  ( RR  i^i  Z )  =  Z )
3611, 35mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  Z )  =  Z
3734, 36syl6eq 2484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =  Z )
38 uzid 10500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3913, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4039, 3syl6eleqr 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
4140adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
42 ne0i 3634 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  Z  ->  Z  =/=  (/) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Z  =/=  (/) )
4437, 43eqnetrd 2619 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
45 imadisj 5223 . . . . . . . 8  |-  ( ( H " Z )  =  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =  (/) )
4645necon3bii 2633 . . . . . . 7  |-  ( ( H " Z )  =/=  (/)  <->  ( dom  H  i^i  Z )  =/=  (/) )
4744, 46sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =/=  (/) )
4824leidd 9593 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) ) )
4921rexrd 9134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR* )
5049, 22fmptd 5893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
5124rexrd 9134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )
522limsuple 12272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5312, 50, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
) )
5448, 53mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )
)
55 ssralv 3407 . . . . . . . . 9  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. y  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
5611, 54, 55mpsyl 61 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) )
572limsupgf 12269 . . . . . . . . . 10  |-  H : RR
--> RR*
58 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( H : RR --> RR*  ->  H  Fn  RR )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  H  Fn  RR
60 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( H `  y )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6160ralima 5978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H  Fn  RR  /\  Z  C_  RR )  -> 
( A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  y ) ) )
6259, 12, 61sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z  <->  A. y  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  y
) ) )
6356, 62mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
)
64 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  z  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
z ) )
6564ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. z  e.  ( H " Z ) y  <_  z  <->  A. z  e.  ( H " Z
) ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z
) )
6665rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( H
" Z ) (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H
" Z ) y  <_  z )
6724, 63, 66syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)
68 infmxrre 10914 . . . . . 6  |-  ( ( ( H " Z
)  C_  RR  /\  ( H " Z )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ( H " Z
) y  <_  z
)  ->  sup (
( H " Z
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup (
( H " Z
) ,  RR ,  `'  <  ) )
6931, 47, 67, 68syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  ) )
70 df-ima 4891 . . . . . . 7  |-  ( H
" Z )  =  ran  ( H  |`  Z )
7128feqmptd 5779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  H  =  ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) ) )
7271reseq1d 5145 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z ) )
73 resmpt 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) ) )
7411, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  e.  RR  |->  ( H `  i ) )  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )
7572, 74syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  ( H `  i
) ) )
76 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
773uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  Z  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i ) )  ->  n  e.  Z )
7877adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
79 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  x  e.  A )
8076, 78, 79, 20syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  B  e.  RR )
81 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )
8280, 81fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR )
83 frn 5597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  C_  RR )
8584adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR )
86 fdm 5595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
8782, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =  ( ZZ>= `  i ) )
88 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
8988, 3syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
90 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  i  e.  ZZ )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
9291adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ZZ )
93 uzid 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  i  e.  ( ZZ>= `  i )
)
94 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( ZZ>= `  i )  =/=  (/) )
9592, 93, 943syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  =/=  (/) )
9687, 95eqnetrd 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  dom  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
97 dm0rn0 5086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =  (/) )
9897necon3bii 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/) )
9996, 98sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10099adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/) )
10111sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  Z  ->  i  e.  RR )
102 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : RR --> RR  /\  i  e.  RR )  ->  ( H `  i
)  e.  RR )
10328, 101, 102syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR )
10489adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
105 uzss 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  ( ZZ>= `  M )
)
107106, 3syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( ZZ>=
`  i )  C_  Z )
108103leidd 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  ( H `  i
) )
10911a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  Z  C_  RR )
11050adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )
111 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
11211, 111sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  RR )
113103rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  e.  RR* )
1142limsupgle 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  ( H `
 i )  e. 
RR* )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
115109, 110, 112, 113, 114syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
116108, 115mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
117 ssralv 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
118107, 116, 117sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) )
119107adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( ZZ>= `  i )  C_  Z
)
120 resmpt 5191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ZZ>= `  i )  C_  Z  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i )
)  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>= `  i ) )  =  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) )
122121fveq1d 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
) )
123 fvres 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
124123adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B )  |`  ( ZZ>=
`  i ) ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
125122, 124eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
126125breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) )
127 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  i
)  ->  i  <_  k )
128127adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  i  <_  k )
129 biimt 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  <_  k  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) ) )
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
131126, 130bitrd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i ) ) ) )
132131ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  ( H `  i )
) ) )
133118, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) )
134 ffn 5591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i
) --> RR  ->  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
) )
135 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) `  k )  ->  (
z  <_  ( H `  i )  <->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
136135ralrn 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i
)  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i )
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  <_  ( H `  i ) ) )
13782, 134, 1363syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )  <->  A. k  e.  ( ZZ>= `  i ) ( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  <_ 
( H `  i
) ) )
138133, 137mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
( H `  i
) )
139 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  (
z  <_  y  <->  z  <_  ( H `  i ) ) )
140139ralbidv 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( H `  i )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) ) )
141140rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( H `  i
)  e.  RR  /\  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
142103, 138, 141syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )
143142adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y )
1449sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  Z  ->  k  e.  ZZ )
145 eluz 10499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  (
ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
14692, 144, 145syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  i )  <->  i  <_  k ) )
147146biimprd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  k  e.  ( ZZ>= `  i
) ) )
148147impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  i ) )
149148, 125syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k ) )
15082adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) : ( ZZ>= `  i ) --> RR )
151150, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i ) )
152 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B )  Fn  ( ZZ>= `  i )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `
 k )  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
153151, 148, 152syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )
154149, 153eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) )
155 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) )  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
15685, 100, 143, 154, 155syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  ( k  e.  Z  /\  i  <_  k ) )  -> 
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
157156expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z
)  /\  k  e.  Z )  ->  (
i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
158157ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
159 suprcl 9968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
16084, 99, 142, 159syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
161160rexrd 9134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
1622limsupgle 12271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Z  C_  RR  /\  ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR* )  /\  i  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( ( H `  i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
163109, 110, 112, 161, 162syl211anc 1190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. k  e.  Z  ( i  <_  k  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  k )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
164158, 163mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
165 suprleub 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_ 
y )  /\  ( H `  i )  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
16684, 99, 142, 103, 165syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  ( H `  i )
) )
167138, 166mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i )
)
168103, 160letri3d 9215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( H `  i
)  =  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( ( H `
 i )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  /\  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <_  ( H `  i ) ) ) )
169164, 167, 168mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( H `  i )  =  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
170169mpteq2dva 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
i  e.  Z  |->  ( H `  i ) )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17175, 170eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H  |`  Z )  =  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
172171rneqd 5097 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( H  |`  Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
17370, 172syl5eq 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( H " Z )  =  ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
174173supeq1d 7451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ( H " Z ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
17517, 69, 1743eqtrd 2472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  =  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )
176175mpteq2dva 4295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
1771, 176syl5eq 2480 . 2  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) ) )
178 eqid 2436 . . 3  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( i  e.  Z  |->  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) ,  RR ,  `'  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )
179 eqid 2436 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  i )  =  (
ZZ>= `  i )
180 eqid 2436 . . . 4  |-  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
181 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ph )
18277adantll 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  n  e.  Z )
183 mbflimsup.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
184181, 182, 183syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  i )
)  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
185 simpll 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  ph )
18677ad2ant2lr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  n  e.  Z )
187 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
188185, 186, 187, 20syl12anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
18980ralrimiva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR )
190 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  B  ->  (
z  <_  y  <->  B  <_  y ) )
19181, 190ralrnmpt 5878 . . . . . . . 8  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  e.  RR  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
192189, 191syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  ( ZZ>=
`  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_ 
y ) )
193192rexbidv 2726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y ) )
194142, 193mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
195194an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) B  <_  y )
196179, 180, 91, 184, 188, 195mbfsup 19556 . . 3  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)  e. MblFn )
197160an32s 780 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
198197anasss 629 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
1992limsuple 12272 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  C_  RR  /\  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR*  /\  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR* )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20012, 50, 51, 199syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
) )
20148, 200mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  RR  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )
)
202 ssralv 3407 . . . . . 6  |-  ( Z 
C_  RR  ->  ( A. i  e.  RR  ( limsup `
 ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) ) )
20311, 201, 202mpsyl 61 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_ 
( H `  i
) )
204169breq2d 4224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
205204ralbidva 2721 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  ( H `  i )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) )
206203, 205mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
207 breq1 4215 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  (
y  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
208207ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( y  =  ( limsup `  (
n  e.  Z  |->  B ) )  ->  ( A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  A. i  e.  Z  ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  ( n  e.  (
ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
209208rspcev 3052 . . . 4  |-  ( ( ( limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  e.  RR  /\  A. i  e.  Z  (
limsup `  ( n  e.  Z  |->  B ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
21024, 206, 209syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. i  e.  Z  y  <_  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i )  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
2113, 178, 13, 196, 198, 210mbfinf 19557 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
i  e.  Z  |->  sup ( ran  ( n  e.  ( ZZ>= `  i
)  |->  B ) ,  RR ,  <  )
) ,  RR ,  `'  <  ) )  e. MblFn
)
212177, 211eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   `'ccnv 4877   dom cdm 4878   ran crn 4879    |` cres 4880   "cima 4881    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989    +oocpnf 9117   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   [,)cico 10918   limsupclsp 12264  MblFncmbf 19506
This theorem is referenced by:  mbflimlem  19559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512
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