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Theorem mbfmul 19075
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmul  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem mbfmul
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 18976 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 ffn 5354 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
6 mbfmul.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 18976 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5354 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
11 mbfdm 18977 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
121, 11syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
13 mbfdm 18977 . . . 4  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
15 eqid 2284 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
17 eqidd 2285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6046 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
19 elin 3359 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2019simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
21 ffvelrn 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
223, 20, 21syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2319simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
24 ffvelrn 5624 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
258, 23, 24syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
2622, 25remuld 11697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )
2726mpteq2dva 4107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
28 inmbl 18893 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
2912, 14, 28syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
30 ovex 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3130a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
32 ovex 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3332a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
3422recld 11673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3525recld 11673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( G `  x ) )  e.  RR )
36 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( F `  x )
) ) )
37 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
3922imcld 11674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
4025imcld 11674 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( G `  x ) )  e.  RR )
41 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) ) )
42 eqidd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4527, 44eqtr4d 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
46 inss1 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
47 resmpt 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
4846, 47ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( F `  x
) )
493feqmptd 5536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
5049, 1eqeltrrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
51 mbfres 18993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5250, 29, 51syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5348, 52syl5eqelr 2369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
5422ismbfcn2 18988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
5553, 54mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) )
5655simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
57 inss2 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
58 resmpt 4999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( G `  x
) )
608feqmptd 5536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
6160, 6eqeltrrd 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
62 mbfres 18993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
6361, 29, 62syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
6459, 63syl5eqelr 2369 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
6525ismbfcn2 18988 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
6664, 65mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) )
6766simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
68 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
6934, 68fmptd 5645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
70 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )
7135, 70fmptd 5645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7256, 67, 69, 71mbfmullem 19074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
7355simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
7466simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
75 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
7639, 75fmptd 5645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
77 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )
7840, 77fmptd 5645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7973, 74, 76, 78mbfmullem 19074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8072, 79mbfsub 19011 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
8145, 80eqeltrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8222, 25immuld 11698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
84 ovex 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8584a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
86 ovex 5844 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8786a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9183, 90eqtr4d 2319 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9256, 74, 69, 78mbfmullem 19074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9373, 67, 76, 71mbfmullem 19074 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
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F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9492, 93mbfadd 19010 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
9591, 94eqeltrd 2358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9622, 25mulcld 8850 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
9796ismbfcn2 18988 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
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 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn ) ) )
9881, 95, 97mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
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)
9918, 98eqeltrd 2358 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    i^i cin 3152    C_ wss 3153    e. cmpt 4078   dom cdm 4688    |` cres 4690    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    o Fcof 6037   CCcc 8730   RRcr 8731    + caddc 8735    x. cmul 8737    - cmin 9032   Recre 11576   Imcim 11577   volcvol 18817  MblFncmbf 18963
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cc 8056  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-disj 3995  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-of 6039  df-ofr 6040  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-oi 7220  df-card 7567  df-acn 7570  df-cda 7789  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ioo 10654  df-ioc 10655  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-fzo 10865  df-fl 10919  df-seq 11041  df-exp 11099  df-hash 11332  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-limsup 11939  df-clim 11956  df-rlim 11957  df-sum 12153  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-cmp 17108  df-ovol 18818  df-vol 18819  df-mbf 18969  df-itg1 18970  df-0p 19019
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