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Theorem mbfmul 19486
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmul  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 19387 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 ffn 5532 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
6 mbfmul.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 19387 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5532 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
11 mbfdm 19388 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
121, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
13 mbfdm 19388 . . . 4  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
15 eqid 2388 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
17 eqidd 2389 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6252 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
19 elin 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2019simplbi 447 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
21 ffvelrn 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
223, 20, 21syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2319simprbi 451 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
24 ffvelrn 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
258, 23, 24syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
2622, 25remuld 11951 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )
2726mpteq2dva 4237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
28 inmbl 19304 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
2912, 14, 28syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
30 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
32 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
3422recld 11927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3525recld 11927 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( G `  x ) )  e.  RR )
36 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( F `  x )
) ) )
37 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
3922imcld 11928 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
4025imcld 11928 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( G `  x ) )  e.  RR )
41 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) ) )
42 eqidd 2389 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4527, 44eqtr4d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
46 inss1 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
47 resmpt 5132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
4846, 47ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( F `  x
) )
493feqmptd 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
5049, 1eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
51 mbfres 19404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5250, 29, 51syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5348, 52syl5eqelr 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
5422ismbfcn2 19399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
5553, 54mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) )
5655simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
57 inss2 3506 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
58 resmpt 5132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( G `  x
) )
608feqmptd 5719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
6160, 6eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
62 mbfres 19404 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
6361, 29, 62syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
6459, 63syl5eqelr 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
6525ismbfcn2 19399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
6664, 65mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) )
6766simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
68 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
6934, 68fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
70 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )
7135, 70fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7256, 67, 69, 71mbfmullem 19485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
7355simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
7466simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
75 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
7639, 75fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
77 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )
7840, 77fmptd 5833 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7973, 74, 76, 78mbfmullem 19485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8072, 79mbfsub 19422 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
8145, 80eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8222, 25immuld 11952 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4237 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
84 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
86 ovex 6046 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6262 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6262 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9183, 90eqtr4d 2423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9256, 74, 69, 78mbfmullem 19485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9373, 67, 76, 71mbfmullem 19485 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
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x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9492, 93mbfadd 19421 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
9591, 94eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9622, 25mulcld 9042 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
9796ismbfcn2 19399 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
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 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn ) ) )
9881, 95, 97mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
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)
9918, 98eqeltrd 2462 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2900    i^i cin 3263    C_ wss 3264    e. cmpt 4208   dom cdm 4819    |` cres 4821    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    o Fcof 6243   CCcc 8922   RRcr 8923    + caddc 8927    x. cmul 8929    - cmin 9224   Recre 11830   Imcim 11831   volcvol 19228  MblFncmbf 19374
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19598
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cc 8249  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-hash 11547  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cmp 17373  df-ovol 19229  df-vol 19230  df-mbf 19380  df-itg1 19381  df-0p 19430
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