MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Unicode version

Theorem mbfmul 19029
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfmul.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfmul  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfmul
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 18930 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 ffn 5313 . . . 4  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
6 mbfmul.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
7 mbff 18930 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
86, 7syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
9 ffn 5313 . . . 4  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
108, 9syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
11 mbfdm 18931 . . . 4  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
121, 11syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
13 mbfdm 18931 . . . 4  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
146, 13syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
15 eqid 2256 . . 3  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
16 eqidd 2257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
17 eqidd 2257 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
185, 10, 12, 14, 15, 16, 17offval 6005 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )
19 elin 3319 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2019simplbi 448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
21 ffvelrn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
223, 20, 21syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
2319simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
24 ffvelrn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
258, 23, 24syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
2622, 25remuld 11654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )
2726mpteq2dva 4066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
28 inmbl 18847 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
2912, 14, 28syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
30 ovex 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3130a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
32 ovex 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
3332a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
3422recld 11630 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( F `  x ) )  e.  RR )
3525recld 11630 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Re `  ( G `  x ) )  e.  RR )
36 eqidd 2257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( F `  x )
) ) )
37 eqidd 2257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )
3829, 34, 35, 36, 37offval2 6015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
3922imcld 11631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( F `  x ) )  e.  RR )
4025imcld 11631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( G `  x ) )  e.  RR )
41 eqidd 2257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) ) )
42 eqidd 2257 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )
4329, 39, 40, 41, 42offval2 6015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
4429, 31, 33, 38, 43offval2 6015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) )  -  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
4527, 44eqtr4d 2291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
46 inss1 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
47 resmpt 4974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
4846, 47ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( F `  x
) )
493feqmptd 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
5049, 1eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
51 mbfres 18947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5250, 29, 51syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5348, 52syl5eqelr 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
5422ismbfcn2 18942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
5553, 54mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  e. MblFn ) )
5655simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
57 inss2 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
58 resmpt 4974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
5957, 58ax-mp 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x
) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G
) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( G `  x
) )
608feqmptd 5495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
6160, 6eqeltrrd 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
62 mbfres 18947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
6361, 29, 62syl2anc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
6459, 63syl5eqelr 2341 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
6525ismbfcn2 18942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( G `
 x ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) ) )
6664, 65mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e. MblFn ) )
6766simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
68 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )
6934, 68fmptd 5604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
70 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `
 x ) ) )
7135, 70fmptd 5604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7256, 67, 69, 71mbfmullem 19028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
7355simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) )  e. MblFn )
7466simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
75 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `
 x ) ) )
7639, 75fmptd 5604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( F `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
77 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `
 x ) ) )
7840, 77fmptd 5604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) : ( dom  F  i^i  dom  G ) --> RR )
7973, 74, 76, 78mbfmullem 19028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8072, 79mbfsub 18965 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Re `  ( G `  x ) ) ) )  o F  -  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
8145, 80eqeltrd 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
8222, 25immuld 11655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x
) ) )  =  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )
8382mpteq2dva 4066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
84 ovex 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  ( F `
 x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8584a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Re `  ( F `  x )
)  x.  ( Im
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
86 ovex 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  ( F `
 x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x ) ) )  e.  _V
8786a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) )  e.  _V )
8829, 34, 40, 36, 42offval2 6015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) ) ) )
8929, 39, 35, 41, 37offval2 6015 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( Im
`  ( F `  x ) )  x.  ( Re `  ( G `  x )
) ) ) )
9029, 85, 87, 88, 89offval2 6015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( ( Re
`  ( F `  x ) )  x.  ( Im `  ( G `  x )
) )  +  ( ( Im `  ( F `  x )
)  x.  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9183, 90eqtr4d 2291 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  =  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) ) )
9256, 74, 69, 78mbfmullem 19028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9373, 67, 76, 71mbfmullem 19028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( F `  x ) ) )  o F  x.  (
x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Re `  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9492, 93mbfadd 18964 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Re `  ( F `
 x ) ) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G
)  |->  ( Im `  ( G `  x ) ) ) )  o F  +  ( ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( Im `  ( F `  x )
) )  o F  x.  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( G `  x ) ) ) ) )  e. MblFn )
9591, 94eqeltrd 2330 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( Im `  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x )
) ) )  e. MblFn
)
9622, 25mulcld 8809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  x.  ( G `
 x ) )  e.  CC )
9796ismbfcn2 18942 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  x.  ( G `  x ) ) )  e. MblFn 
<->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Re
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( Im
`  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) ) )  e. MblFn ) ) )
9881, 95, 97mpbir2and 893 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  x.  ( G `  x
) ) )  e. MblFn
)
9918, 98eqeltrd 2330 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  x.  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757    i^i cin 3112    C_ wss 3113    e. cmpt 4037   dom cdm 4647    |` cres 4649    Fn wfn 4654   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778    o Fcof 5996   CCcc 8689   RRcr 8690    + caddc 8694    x. cmul 8696    - cmin 8991   Recre 11533   Imcim 11534   volcvol 18771  MblFncmbf 18917
This theorem is referenced by:  bddmulibl  19141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cc 8015  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-disj 3954  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-of 5998  df-ofr 5999  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-2o 6434  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-map 6728  df-pm 6729  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-oi 7179  df-card 7526  df-acn 7529  df-cda 7748  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ioo 10612  df-ioc 10613  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-fzo 10823  df-fl 10877  df-seq 10999  df-exp 11057  df-hash 11290  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-limsup 11896  df-clim 11913  df-rlim 11914  df-sum 12110  df-rest 13275  df-topgen 13292  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-cmp 17062  df-ovol 18772  df-vol 18773  df-mbf 18923  df-itg1 18924  df-0p 18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator