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Theorem mbfss 18996
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
mbfss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
mbfss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
mbfss.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
mbfss.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3318 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
2 undif2 3532 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 ssequn1 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
53, 4sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
62, 5syl5eq 2329 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
76eleq2d 2352 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
81, 7syl5bbr 252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
98biimpar 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
10 mbfss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 mbfss.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1210, 11mbfmptcl 18987 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
13 mbfss.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
14 0cn 8827 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1513, 14syl6eqel 2373 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1612, 15jaodan 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1817recld 11674 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
19 eqid 2285 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Re
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )
2018, 19fmptd 5646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) ) : B --> RR )
21 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
223, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
2312ismbfcn2 18989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
2410, 23mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
2524simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
2622, 25eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
27 difss 3305 . . . . . 6  |-  ( B 
\  A )  C_  B
28 resmpt 5000 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Re `  C ) ) )
2927, 28ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )
3013fveq2d 5490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  ( Re `  0 ) )
31 re0 11632 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  0 )
3332mpteq2dva 4108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
3429, 33syl5eq 2329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
35 fconstmpt 4732 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 )
36 mbfss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3710, 11mbfdm2 18988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
38 difmbl 18895 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  A )  e.  dom  vol )
3936, 37, 38syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
40 mbfconst 18985 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( B 
\  A )  X. 
{ 0 } )  e. MblFn )
4139, 14, 40sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  A )  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
4235, 41syl5eqelr 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  0 )  e. MblFn )
4334, 42eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
4420, 26, 43, 6mbfres2 18995 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
4517imcld 11675 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
46 eqid 2285 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Im
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )
4745, 46fmptd 5646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) ) : B --> RR )
48 resmpt 5000 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
493, 48syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
5024simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
5149, 50eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
52 resmpt 5000 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Im `  C ) ) )
5327, 52ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )
5413fveq2d 5490 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  ( Im `  0 ) )
55 im0 11633 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  0 )
5756mpteq2dva 4108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
5853, 57syl5eq 2329 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
5958, 42eqeltrd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
6047, 51, 59, 6mbfres2 18995 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
6117ismbfcn2 18989 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
6244, 60, 61mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    \ cdif 3151    u. cun 3152    C_ wss 3154   {csn 3642    e. cmpt 4079    X. cxp 4687   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5222   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   Recre 11577   Imcim 11578   volcvol 18818  MblFncmbf 18964
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  19073  itg2cnlem1  19111  iblss2  19155  ibladdlem  19169  itgaddlem1  19172  iblabslem  19177  itggt0  19191  itgcn  19192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-cda 7790  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xadd 10449  df-ioo 10655  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-fl 10920  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154  df-xmet 16368  df-met 16369  df-ovol 18819  df-vol 18820  df-mbf 18970
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