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Theorem mbfss 19491
Description: Change the domain of a measurability predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
mbfss.2  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
mbfss.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
mbfss.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
mbfss.5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfss  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mbfss
StepHypRef Expression
1 elun 3448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  u.  ( B  \  A ) )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )
2 undif2 3664 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  ( A  u.  B
)
3 mbfss.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
4 ssequn1 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  B  <->  ( A  u.  B )  =  B )
53, 4sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  =  B )
62, 5syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  u.  ( B  \  A ) )  =  B )
76eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A  u.  ( B 
\  A ) )  <-> 
x  e.  B ) )
81, 7syl5bbr 251 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) )  <->  x  e.  B ) )
98biimpar 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A ) ) )
10 mbfss.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
11 mbfss.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
1210, 11mbfmptcl 19482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
13 mbfss.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
14 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1513, 14syl6eqel 2492 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
1612, 15jaodan 761 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  \/  x  e.  ( B  \  A
) ) )  ->  C  e.  CC )
179, 16syldan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1817recld 11954 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  C )  e.  RR )
19 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Re
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )
2018, 19fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) ) : B --> RR )
21 resmpt 5150 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
223, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) ) )
2312ismbfcn2 19484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
2410, 23mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  C ) )  e. MblFn  /\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
)
2524simpld 446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
2622, 25eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
27 difss 3434 . . . . . 6  |-  ( B 
\  A )  C_  B
28 resmpt 5150 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Re `  C ) ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )
3013fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  ( Re `  0 ) )
31 re0 11912 . . . . . . 7  |-  ( Re
`  0 )  =  0
3230, 31syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Re `  C )  =  0 )
3332mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Re `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
3429, 33syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
35 fconstmpt 4880 . . . . 5  |-  ( ( B  \  A )  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 )
36 mbfss.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3710, 11mbfdm2 19483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
38 difmbl 19390 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  dom  vol  /\  A  e.  dom  vol )  ->  ( B  \  A )  e.  dom  vol )
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  \  A
)  e.  dom  vol )
40 mbfconst 19480 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  \  A
)  e.  dom  vol  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( B 
\  A )  X. 
{ 0 } )  e. MblFn )
4139, 14, 40sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  \  A )  X.  {
0 } )  e. MblFn
)
4235, 41syl5eqelr 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  0 )  e. MblFn )
4334, 42eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
4420, 26, 43, 6mbfres2 19490 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn )
4517imcld 11955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Im `  C )  e.  RR )
46 eqid 2404 . . . 4  |-  ( x  e.  B  |->  ( Im
`  C ) )  =  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )
4745, 46fmptd 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) ) : B --> RR )
48 resmpt 5150 . . . . 5  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
493, 48syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  =  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C ) ) )
5024simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
5149, 50eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  A )  e. MblFn )
52 resmpt 5150 . . . . . 6  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A
)  |->  ( Im `  C ) ) )
5327, 52ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )
5413fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  ( Im `  0 ) )
55 im0 11913 . . . . . . 7  |-  ( Im
`  0 )  =  0
5654, 55syl6eq 2452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  ( Im `  C )  =  0 )
5756mpteq2dva 4255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( B  \  A ) 
|->  ( Im `  C
) )  =  ( x  e.  ( B 
\  A )  |->  0 ) )
5853, 57syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( x  e.  ( B  \  A )  |->  0 ) )
5958, 42eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  |`  ( B  \  A ) )  e. MblFn )
6047, 51, 59, 6mbfres2 19490 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  ( Im `  C
) )  e. MblFn )
6117ismbfcn2 19484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( ( x  e.  B  |->  ( Re `  C
) )  e. MblFn  /\  (
x  e.  B  |->  ( Im `  C ) )  e. MblFn ) ) )
6244, 60, 61mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   {csn 3774    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    |` cres 4839   ` cfv 5413   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   Recre 11857   Imcim 11858   volcvol 19313  MblFncmbf 19459
This theorem is referenced by:  mbfi1flim  19568  itg2cnlem1  19606  iblss2  19650  ibladdlem  19664  itgaddlem1  19667  iblabslem  19672  itggt0  19686  itgcn  19687  ibladdnclem  26160  itgaddnclem1  26162  iblabsnclem  26167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xadd 10667  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-xmet 16650  df-met 16651  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465
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