MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsub Unicode version

Theorem mbfsub 18979
Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
mbfadd.2  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
mbfsub  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  G )  e. MblFn
)

Proof of Theorem mbfsub
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 mbff 18944 . . . . . . . 8  |-  ( F  e. MblFn  ->  F : dom  F --> CC )
31, 2syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : dom  F --> CC )
4 elin 3333 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  <->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
54simplbi 448 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  F )
6 ffvelrn 5597 . . . . . . 7  |-  ( ( F : dom  F --> CC  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
73, 5, 6syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
8 mbfadd.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
9 mbff 18944 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. MblFn  ->  G : dom  G --> CC )
108, 9syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G : dom  G --> CC )
114simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  ->  x  e.  dom  G )
12 ffvelrn 5597 . . . . . . 7  |-  ( ( G : dom  G --> CC  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
147, 13negsubd 9131 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  +  -u ( G `  x )
)  =  ( ( F `  x )  -  ( G `  x ) ) )
1514eqcomd 2263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  (
( F `  x
)  -  ( G `
 x ) )  =  ( ( F `
 x )  + 
-u ( G `  x ) ) )
1615mpteq2dva 4080 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  ( ( F `  x )  +  -u ( G `  x ) ) ) )
17 ffn 5327 . . . . 5  |-  ( F : dom  F --> CC  ->  F  Fn  dom  F )
183, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  dom  F
)
19 ffn 5327 . . . . 5  |-  ( G : dom  G --> CC  ->  G  Fn  dom  G )
2010, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  Fn  dom  G
)
21 mbfdm 18945 . . . . 5  |-  ( F  e. MblFn  ->  dom  F  e.  dom  vol )
221, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  e.  dom  vol )
23 mbfdm 18945 . . . . 5  |-  ( G  e. MblFn  ->  dom  G  e.  dom  vol )
248, 23syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  dom  vol )
25 eqid 2258 . . . 4  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G )  =  ( dom  F  i^i  dom  G )
26 eqidd 2259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  F )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
27 eqidd 2259 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  G )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2818, 20, 22, 24, 25, 26, 27offval 6019 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  G )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( ( F `
 x )  -  ( G `  x ) ) ) )
29 inmbl 18861 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  e.  dom  vol 
/\  dom  G  e.  dom  vol )  ->  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )
3022, 24, 29syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( dom  F  i^i  dom 
G )  e.  dom  vol )
3113negcld 9112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G ) )  ->  -u ( G `  x )  e.  CC )
32 eqidd 2259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
33 eqidd 2259 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  -u ( G `  x ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  -u ( G `  x ) ) )
3430, 7, 31, 32, 33offval2 6029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  -u ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( ( F `  x )  +  -u ( G `  x ) ) ) )
3516, 28, 343eqtr4d 2300 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  G )  =  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  -u ( G `  x ) ) ) )
36 inss1 3364 . . . . 5  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  F
37 resmpt 4988 . . . . 5  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  F  -> 
( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
3836, 37mp1i 13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) ) )
393feqmptd 5509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) ) )
4039, 1eqeltrrd 2333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn )
41 mbfres 18961 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  dom  F 
|->  ( F `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  F  |->  ( F `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
4240, 30, 41syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  F  |->  ( F `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
4338, 42eqeltrrd 2333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( F `  x ) )  e. MblFn
)
44 inss2 3365 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
C_  dom  G
45 resmpt 4988 . . . . . 6  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  C_  dom  G  -> 
( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
4644, 45mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  =  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) ) )
4710feqmptd 5509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) ) )
4847, 8eqeltrrd 2333 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn )
49 mbfres 18961 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  dom  G 
|->  ( G `  x
) )  e. MblFn  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  e.  dom  vol )  ->  ( ( x  e.  dom  G  |->  ( G `  x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom  G )
)  e. MblFn )
5048, 30, 49syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
dom  G  |->  ( G `
 x ) )  |`  ( dom  F  i^i  dom 
G ) )  e. MblFn
)
5146, 50eqeltrrd 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  ( G `  x ) )  e. MblFn
)
5213, 51mbfneg 18967 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom  G )  |->  -u ( G `  x ) )  e. MblFn
)
5343, 52mbfadd 18978 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  ( dom  F  i^i  dom 
G )  |->  ( F `
 x ) )  o F  +  ( x  e.  ( dom 
F  i^i  dom  G ) 
|->  -u ( G `  x ) ) )  e. MblFn )
5435, 53eqeltrd 2332 1  |-  ( ph  ->  ( F  o F  -  G )  e. MblFn
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    i^i cin 3126    C_ wss 3127    e. cmpt 4051   dom cdm 4661    |` cres 4663    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    o Fcof 6010   CCcc 8703    + caddc 8708    - cmin 9005   -ucneg 9006   volcvol 18785  MblFncmbf 18931
This theorem is referenced by:  mbfmul  19043  iblulm  19745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xadd 10420  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-xmet 16335  df-met 16336  df-ovol 18786  df-vol 18787  df-mbf 18937
  Copyright terms: Public domain W3C validator