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Theorem mbfsup 18981
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems,  B
( n ,  x
) is a function of both  n and  x, since it is an  n-indexed sequence of functions on  x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
mbfsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfsup.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfsup.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfsup.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
Assertion
Ref Expression
mbfsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    y, B    ph, n, x, y    n, Z, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
21anassrs 632 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32an32s 782 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5333 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10209 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2349 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5331 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2335 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3436 . . . . . 6  |-  ( M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 4883 . . . . . 6  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2453 . . . . 5  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfsup.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
23 ffn 5327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq1 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y )
)
2625ralrn 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  A. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y ) )
2724, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
) )
28 nfmpt1 4083 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
29 nfcv 2394 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n m
3028, 29nffv 5465 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
31 nfcv 2394 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <_
32 nfcv 2394 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
y
3330, 31, 32nfbr 4041 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
34 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ m
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y
35 fveq2 5458 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3635breq1d 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  <_  y )
)
3733, 34, 36cbvral 2735 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
394fvmpt2 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
4038, 3, 39syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
4140breq1d 4007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
4241ralbidva 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4337, 42syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4427, 43bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4544rexbidv 2539 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4622, 45mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )
47 suprcl 9682 . . . 4  |-  ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
487, 21, 46, 47syl3anc 1187 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
49 mbfsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5048, 49fmptd 5618 . 2  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
51 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
52 ltso 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
5352supex 7182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
5449fvmpt2 5542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
5551, 53, 54sylancl 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5655breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
577, 21, 463jca 1137 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
5857adantlr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
59 simplr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  t  e.  RR )
60 suprlub 9684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) 
C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  /\  t  e.  RR )  ->  ( t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
6158, 59, 60syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
6224adantlr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
63 breq2 4001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( t  <  z  <->  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
6463rexrn 5601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( E. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
66 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
t
67 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  <
6866, 67, 30nfbr 4041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
69 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
7035breq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7168, 69, 70cbvrex 2736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
724fvmpt2i 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  (  _I 
`  B ) )
73 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
7473fvmpt2i 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7574adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7675eqcomd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (  _I  `  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7772, 76sylan9eqr 2312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7877breq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7978rexbidva 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8079adantlr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8171, 80syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8265, 81bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
8356, 61, 823bitrd 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8483ralrimiva 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( t  <  ( G `  x
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
85 nfv 1629 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )
86 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
t
87 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
88 nfmpt1 4083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
8949, 88nfcxfr 2391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x G
90 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
z
9189, 90nffv 5465 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( G `  z
)
9286, 87, 91nfbr 4041 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  t  <  ( G `  z )
93 nfcv 2394 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x Z
94 nfmpt1 4083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
9594, 90nffv 5465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9686, 87, 95nfbr 4041 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9793, 96nfrex 2573 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9892, 97nfbi 1738 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )
99 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
10099breq2d 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
101 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
102101breq2d 4009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) )
103102rexbidv 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
104100, 103bibi12d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  <-> 
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
10585, 98, 104cbvral 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  <->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
10684, 105sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
107106r19.21bi 2616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
108 rexr 8845 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  RR* )
109108ad2antlr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  t  e.  RR* )
110 elioopnf 10703 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
11250adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
113 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z
)  e.  RR )
114112, 113sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
115114biantrurd 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
116111, 115bitr4d 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
117109adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  t  e.  RR* )
118 elioopnf 10703 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
1202, 73fmptd 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
121 ffvelrn 5597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR )
122120, 121sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR )
123122biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
124123an32s 782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
125124adantllr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
126119, 125bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
127126rexbidva 2535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
128107, 116, 1273bitr4d 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
129128pm5.32da 625 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
130 ffn 5327 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
13150, 130syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
132131adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
133 elpreima 5579 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
134132, 133syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
135 eliun 3883 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
136 ffn 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
137120, 136syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
138 elpreima 5579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
) ) )
140139rexbidva 2535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
141140adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
142 r19.42v 2669 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
143141, 142syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
144135, 143syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
145129, 134, 1443bitr4d 278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) ) )
146145eqrdv 2256 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  = 
U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
147 zex 10000 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
148 uzssz 10214 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
149 ssdomg 6875 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  (
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ  ->  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ ) )
150147, 148, 149mp2 19 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ
15111, 150eqbrtri 4016 . . . . 5  |-  Z  ~<_  ZZ
152 znnen 12453 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
153 domentr 6888 . . . . 5  |-  ( ( Z  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  NN )  ->  Z  ~<_  NN )
154151, 152, 153mp2an 656 . . . 4  |-  Z  ~<_  NN
155 mbfsup.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
156 mbfima 18949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
157155, 120, 156syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
158157ralrimiva 2601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
159158adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
160 iunmbl2 18876 . . . 4  |-  ( ( Z  ~<_  NN  /\  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
161154, 159, 160sylancr 647 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162146, 161eqeltrd 2332 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
16350, 162ismbf3d 18971 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   E.wrex 2519   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   (/)c0 3430   U_ciun 3879   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    _I cid 4276   `'ccnv 4660   dom cdm 4661   ran crn 4662   "cima 4664    Fn wfn 4668   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    ~~ cen 6828    ~<_ cdom 6829   supcsup 7161   RRcr 8704    +oocpnf 8832   RR*cxr 8834    < clt 8835    <_ cle 8836   NNcn 9714   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197   (,)cioo 10622   volcvol 18785  MblFncmbf 18931
This theorem is referenced by:  mbfinf  18982  mbflimsup  18983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cc 8029  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-disj 3968  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-of 6012  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-2o 6448  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-acn 7543  df-cda 7762  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xadd 10420  df-ioo 10626  df-ioc 10627  df-ico 10628  df-icc 10629  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-fl 10891  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-rlim 11928  df-sum 12124  df-xmet 16335  df-met 16336  df-ovol 18786  df-vol 18787  df-mbf 18937
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