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Theorem mbfsup 19019
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems,  B
( n ,  x
) is a function of both  n and  x, since it is an  n-indexed sequence of functions on  x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
mbfsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfsup.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfsup.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfsup.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
Assertion
Ref Expression
mbfsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    y, B    ph, n, x, y    n, Z, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables  m  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
21anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32an32s 779 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5395 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5393 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3461 . . . . . 6  |-  ( M  e.  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 4895 . . . . . 6  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2478 . . . . 5  |-  ( dom  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfsup.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
23 ffn 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y )
)
2625ralrn 5668 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  A. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y ) )
2724, 26syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
) )
28 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
29 nfcv 2419 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n m
3028, 29nffv 5532 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
31 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <_
32 nfcv 2419 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
y
3330, 31, 32nfbr 4067 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
34 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ m
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y
35 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3635breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  <_  y )
)
3733, 34, 36cbvral 2760 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
394fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
4038, 3, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
4140breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
4241ralbidva 2559 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4337, 42syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4427, 43bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4544rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4622, 45mpbird 223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )
47 suprcl 9714 . . . 4  |-  ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
487, 21, 46, 47syl3anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
49 mbfsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5048, 49fmptd 5684 . 2  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
51 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
52 ltso 8903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
5352supex 7214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
5449fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5551, 53, 54sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5655breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
577, 21, 463jca 1132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
5857adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  ( n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
59 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  t  e.  RR )
60 suprlub 9716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  /\  t  e.  RR )  ->  ( t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (
n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
6158, 59, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  sup ( ran  ( n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z ) )
6224adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
63 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( t  <  z  <->  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
6463rexrn 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( E. z  e. 
ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  <  z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
6562, 64syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
66 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
t
67 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  <
6866, 67, 30nfbr 4067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
69 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
7035breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7168, 69, 70cbvrex 2761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
724fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  (  _I 
`  B ) )
73 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
7473fvmpt2i 5607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7574adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7675eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (  _I  `  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7772, 76sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7877breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7978rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8079adantlr 695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8171, 80syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8265, 81bitrd 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
8356, 61, 823bitrd 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8483ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( t  <  ( G `  x
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
85 nfv 1605 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )
86 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
t
87 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
88 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  sup ( ran  (
n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
8949, 88nfcxfr 2416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x G
90 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
z
9189, 90nffv 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( G `  z
)
9286, 87, 91nfbr 4067 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  t  <  ( G `  z )
93 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x Z
94 nfmpt1 4109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
9594, 90nffv 5532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9686, 87, 95nfbr 4067 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9793, 96nfrex 2598 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9892, 97nfbi 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )
99 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
10099breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
101 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
102101breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) )
103102rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
104100, 103bibi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  <-> 
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
10585, 98, 104cbvral 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  <->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
10684, 105sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
107106r19.21bi 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
108 rexr 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  RR* )
109108ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  t  e.  RR* )
110 elioopnf 10737 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
11250adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
113 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z
)  e.  RR )
114112, 113sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
115114biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
116111, 115bitr4d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
117109adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  t  e.  RR* )
118 elioopnf 10737 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
119117, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
1202, 73fmptd 5684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
121 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR )
122120, 121sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR )
123122biantrurd 494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
124123an32s 779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
125124adantllr 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
126119, 125bitr4d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
127126rexbidva 2560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
128107, 116, 1273bitr4d 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
129128pm5.32da 622 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
130 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
13150, 130syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
132131adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
133 elpreima 5645 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
134132, 133syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
135 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
136 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
137120, 136syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
138 elpreima 5645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
139137, 138syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
) ) )
140139rexbidva 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
141140adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
142 r19.42v 2694 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
143141, 142syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
144135, 143syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
145129, 134, 1443bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) ) )
146145eqrdv 2281 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  = 
U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
147 zex 10033 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
148 uzssz 10247 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
149 ssdomg 6907 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  (
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ  ->  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ ) )
150147, 148, 149mp2 17 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ
15111, 150eqbrtri 4042 . . . . 5  |-  Z  ~<_  ZZ
152 znnen 12491 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
153 domentr 6920 . . . . 5  |-  ( ( Z  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  NN )  ->  Z  ~<_  NN )
154151, 152, 153mp2an 653 . . . 4  |-  Z  ~<_  NN
155 mbfsup.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
156 mbfima 18987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
157155, 120, 156syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
158157ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
159158adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
160 iunmbl2 18914 . . . 4  |-  ( ( Z  ~<_  NN  /\  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
161154, 159, 160sylancr 644 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162146, 161eqeltrd 2357 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
16350, 162ismbf3d 19009 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _I cid 4304   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   supcsup 7193   RRcr 8736    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   (,)cioo 10656   volcvol 18823  MblFncmbf 18969
This theorem is referenced by:  mbfinf  19020  mbflimsup  19021
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824  df-vol 18825  df-mbf 18975
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