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Theorem mbfsup 19015
Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems,  B
( n ,  x
) is a function of both  n and  x, since it is an  n-indexed sequence of functions on  x. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
mbfsup.2  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
mbfsup.3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
mbfsup.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
mbfsup.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
mbfsup.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
Assertion
Ref Expression
mbfsup  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Distinct variable groups:    x, n, y, A    y, B    ph, n, x, y    n, Z, x, y
Dummy variables  m  z  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution groups:    B( x, n)    G( x, y, n)    M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfsup
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  Z  /\  x  e.  A ) )  ->  B  e.  RR )
21anassrs 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32an32s 781 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
4 eqid 2286 . . . . . 6  |-  ( n  e.  Z  |->  B )  =  ( n  e.  Z  |->  B )
53, 4fmptd 5647 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR )
6 frn 5362 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
75, 6syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR )
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
9 uzid 10239 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
1210, 11syl6eleqr 2377 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
1312adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  Z )
14 fdm 5360 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
155, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  Z )
1613, 15eleqtrrd 2363 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B ) )
17 ne0i 3464 . . . . . 6  |-  ( M  e.  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
19 dm0rn0 4896 . . . . . 6  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =  (/) )
2019necon3bii 2481 . . . . 5  |-  ( dom  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  <->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
2118, 20sylib 190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/) )
22 mbfsup.6 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y
)
23 ffn 5356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B ) : Z --> RR  ->  ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
245, 23syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
25 breq1 4029 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y )
)
2625ralrn 5631 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  A. m  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y ) )
2724, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
) )
28 nfmpt1 4112 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( n  e.  Z  |->  B )
29 nfcv 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n m
3028, 29nffv 5494 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )
31 nfcv 2422 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <_
32 nfcv 2422 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
y
3330, 31, 32nfbr 4070 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y
34 nfv 1607 . . . . . . . . 9  |-  F/ m
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y
35 fveq2 5487 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n ) )
3635breq1d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  <_  y )
)
3733, 34, 36cbvral 2763 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e.  Z  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  Z  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y )
38 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  n  e.  Z )
394fvmpt2 5571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  Z  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  =  B )
4038, 3, 39syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  B )
4140breq1d 4036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  B  <_  y ) )
4241ralbidva 2562 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. n  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4337, 42syl5bb 250 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. m  e.  Z  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <_  y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4427, 43bitrd 246 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_ 
y  <->  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4544rexbidv 2567 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  Z  B  <_  y ) )
4622, 45mpbird 225 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )
47 suprcl 9711 . . . 4  |-  ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
487, 21, 46, 47syl3anc 1184 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
49 mbfsup.2 . . 3  |-  G  =  ( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5048, 49fmptd 5647 . 2  |-  ( ph  ->  G : A --> RR )
51 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
52 ltso 8900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <  Or  RR
5352supex 7211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
5449fvmpt2 5571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )
)
5551, 53, 54sylancl 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
5655breq2d 4038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) ) )
577, 21, 463jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
5857adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( ran  (  n  e.  Z  |->  B )  C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y ) )
59 simplr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  t  e.  RR )
60 suprlub 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) 
C_  RR  /\  ran  (  n  e.  Z  |->  B )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) z  <_  y )  /\  t  e.  RR )  ->  ( t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
6158, 59, 60syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  )  <->  E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z
) )
6224adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z )
63 breq2 4030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  -> 
( t  <  z  <->  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
6463rexrn 5630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  Z  |->  B )  Fn  Z  -> 
( E. z  e. 
ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  <  z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  m
) ) )
6562, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m ) ) )
66 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
t
67 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  <
6866, 67, 30nfbr 4070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )
69 nfv 1607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ m  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )
7035breq2d 4038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  m )  <-> 
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n ) ) )
7168, 69, 70cbvrex 2764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `  n
) )
724fvmpt2i 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  (  _I 
`  B ) )
73 eqid 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
7473fvmpt2i 5570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7574adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  (  _I 
`  B ) )
7675eqcomd 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (  _I  `  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7772, 76sylan9eqr 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  B ) `  n
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x ) )
7877breq2d 4038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
n  e.  Z  |->  B ) `  n )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x ) ) )
7978rexbidva 2563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8079adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 n )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8171, 80syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. m  e.  Z  t  <  ( ( n  e.  Z  |->  B ) `
 m )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8265, 81bitrd 246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. z  e.  ran  (  n  e.  Z  |->  B ) t  < 
z  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
8356, 61, 823bitrd 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) ) )
8483ralrimiva 2629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. x  e.  A  ( t  <  ( G `  x
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) ) )
85 nfv 1607 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )
86 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
t
87 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x  <
88 nfmpt1 4112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  sup ( ran  (  n  e.  Z  |->  B ) ,  RR ,  <  ) )
8949, 88nfcxfr 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x G
90 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
z
9189, 90nffv 5494 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( G `  z
)
9286, 87, 91nfbr 4070 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x  t  <  ( G `  z )
93 nfcv 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x Z
94 nfmpt1 4112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
9594, 90nffv 5494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )
9686, 87, 95nfbr 4070 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9793, 96nfrex 2601 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )
9892, 97nfbi 1776 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) )
99 fveq2 5487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
10099breq2d 4038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( G `  x )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
101 fveq2 5487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) )
102101breq2d 4038 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  x )  <-> 
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) )
103102rexbidv 2567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
104100, 103bibi12d 314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 x ) )  <-> 
( t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
10585, 98, 104cbvral 2763 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
t  <  ( G `  x )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x
) )  <->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
10684, 105sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. z  e.  A  ( t  <  ( G `  z
)  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
107106r19.21bi 2644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
) ) )
108 rexr 8874 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR  ->  t  e.  RR* )
109108ad2antlr 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  t  e.  RR* )
110 elioopnf 10733 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
111109, 110syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
11250adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G : A
--> RR )
113 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A --> RR  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z
)  e.  RR )
114112, 113sylan 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( G `  z )  e.  RR )
115114biantrurd 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( G `  z )  <->  ( ( G `  z )  e.  RR  /\  t  < 
( G `  z
) ) ) )
116111, 115bitr4d 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( G `  z ) ) )
117109adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  t  e.  RR* )
118 elioopnf 10733 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  RR*  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) ) )
119117, 118syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR  /\  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
1202, 73fmptd 5647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )
121 ffvelrn 5626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  /\  z  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  RR )
122120, 121sylan 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  RR )
123122biantrurd 496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  A )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
124123an32s 781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  A )  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
125124adantllr 701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
t  <  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  <-> 
( ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z )  e.  RR  /\  t  < 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z ) ) ) )
126119, 125bitr4d 249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A
)  /\  n  e.  Z )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
127126rexbidva 2563 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  ( E. n  e.  Z  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  t  <  ( ( x  e.  A  |->  B ) `
 z ) ) )
128107, 116, 1273bitr4d 278 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR )  /\  z  e.  A )  ->  (
( G `  z
)  e.  ( t (,)  +oo )  <->  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
129128pm5.32da 624 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
130 ffn 5356 . . . . . . . 8  |-  ( G : A --> RR  ->  G  Fn  A )
13150, 130syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  A )
132131adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  G  Fn  A )
133 elpreima 5608 . . . . . 6  |-  ( G  Fn  A  ->  (
z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
134132, 133syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  ( G `  z )  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
135 eliun 3912 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
136 ffn 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  |->  B ) : A --> RR  ->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
137120, 136syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
138 elpreima 5608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  -> 
( z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
) ) )
140139rexbidva 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
141140adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  (
( x  e.  A  |->  B ) `  z
)  e.  ( t (,)  +oo ) ) ) )
142 r19.42v 2697 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  Z  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,)  +oo )
)  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) )
143141, 142syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( E. n  e.  Z  z  e.  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
144135, 143syl5bb 250 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  <->  ( z  e.  A  /\  E. n  e.  Z  ( (
x  e.  A  |->  B ) `  z )  e.  ( t (,) 
+oo ) ) ) )
145129, 134, 1443bitr4d 278 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  <->  z  e.  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) ) )
146145eqrdv 2284 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  = 
U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) ) )
147 zex 10030 . . . . . . 7  |-  ZZ  e.  _V
148 uzssz 10244 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
149 ssdomg 6904 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  (
( ZZ>= `  M )  C_  ZZ  ->  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ ) )
150147, 148, 149mp2 19 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  M )  ~<_  ZZ
15111, 150eqbrtri 4045 . . . . 5  |-  Z  ~<_  ZZ
152 znnen 12487 . . . . 5  |-  ZZ  ~~  NN
153 domentr 6917 . . . . 5  |-  ( ( Z  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  NN )  ->  Z  ~<_  NN )
154151, 152, 153mp2an 655 . . . 4  |-  Z  ~<_  NN
155 mbfsup.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
156 mbfima 18983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  (
x  e.  A  |->  B ) : A --> RR )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
157155, 120, 156syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
158157ralrimiva 2629 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
159158adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
160 iunmbl2 18910 . . . 4  |-  ( ( Z  ~<_  NN  /\  A. n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) "
( t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
161154, 159, 160sylancr 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  U_ n  e.  Z  ( `' ( x  e.  A  |->  B ) " (
t (,)  +oo ) )  e.  dom  vol )
162146, 161eqeltrd 2360 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( `' G " ( t (,)  +oo ) )  e. 
dom  vol )
16350, 162ismbf3d 19005 1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   A.wral 2546   E.wrex 2547   _Vcvv 2791    C_ wss 3155   (/)c0 3458   U_ciun 3908   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080    _I cid 4305   `'ccnv 4689   dom cdm 4690   ran crn 4691   "cima 4693    Fn wfn 5218   -->wf 5219   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    ~~ cen 6857    ~<_ cdom 6858   supcsup 7190   RRcr 8733    +oocpnf 8861   RR*cxr 8863    < clt 8864    <_ cle 8865   NNcn 9743   ZZcz 10021   ZZ>=cuz 10227   (,)cioo 10652   volcvol 18819  MblFncmbf 18965
This theorem is referenced by:  mbfinf  19016  mbflimsup  19017
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cc 8058  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-disj 3997  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xadd 10450  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-xmet 16369  df-met 16370  df-ovol 18820  df-vol 18821  df-mbf 18971
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