Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsup Structured version   Unicode version

Theorem mbfsup 19556
 Description: The supremum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. Note that in this and related theorems, is a function of both and , since it is an -indexed sequence of functions on . (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfsup.1
mbfsup.2
mbfsup.3
mbfsup.4 MblFn
mbfsup.5
mbfsup.6
Assertion
Ref Expression
mbfsup MblFn
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mbfsup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfsup.5 . . . . . . . 8
21anassrs 630 . . . . . . 7
32an32s 780 . . . . . 6
4 eqid 2436 . . . . . 6
53, 4fmptd 5893 . . . . 5
6 frn 5597 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
8 mbfsup.3 . . . . . . . . . 10
9 uzid 10500 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
11 mbfsup.1 . . . . . . . . 9
1210, 11syl6eleqr 2527 . . . . . . . 8
1312adantr 452 . . . . . . 7
14 fdm 5595 . . . . . . . 8
155, 14syl 16 . . . . . . 7
1613, 15eleqtrrd 2513 . . . . . 6
17 ne0i 3634 . . . . . 6
1816, 17syl 16 . . . . 5
19 dm0rn0 5086 . . . . . 6
2019necon3bii 2633 . . . . 5
2118, 20sylib 189 . . . 4
22 mbfsup.6 . . . . 5
23 ffn 5591 . . . . . . . . 9
245, 23syl 16 . . . . . . . 8
25 breq1 4215 . . . . . . . . 9
2625ralrn 5873 . . . . . . . 8
2724, 26syl 16 . . . . . . 7
28 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . 10
29 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
30 nfcv 2572 . . . . . . . . . 10
3128, 29, 30nfbr 4256 . . . . . . . . 9
32 nfv 1629 . . . . . . . . 9
33 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10
3433breq1d 4222 . . . . . . . . 9
3531, 32, 34cbvral 2928 . . . . . . . 8
36 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
374fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . 11
3836, 3, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
3938breq1d 4222 . . . . . . . . 9
4039ralbidva 2721 . . . . . . . 8
4135, 40syl5bb 249 . . . . . . 7
4227, 41bitrd 245 . . . . . 6
4342rexbidv 2726 . . . . 5
4422, 43mpbird 224 . . . 4
45 suprcl 9968 . . . 4
467, 21, 44, 45syl3anc 1184 . . 3
47 mbfsup.2 . . 3
4846, 47fmptd 5893 . 2
49 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13
50 ltso 9156 . . . . . . . . . . . . . 14
5150supex 7468 . . . . . . . . . . . . 13
5247fvmpt2 5812 . . . . . . . . . . . . 13
5349, 51, 52sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
5453breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11
557, 21, 443jca 1134 . . . . . . . . . . . . 13
5655adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12
57 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12
58 suprlub 9970 . . . . . . . . . . . 12
5956, 57, 58syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
6024adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
61 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . 14
6261rexrn 5872 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
64 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . . . 15
6664, 65, 28nfbr 4256 . . . . . . . . . . . . . 14
67 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . 14
6833breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 67, 68cbvrex 2929 . . . . . . . . . . . . 13
704fvmpt2i 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
71 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271fvmpt2i 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7473eqcomd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7570, 74sylan9eqr 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7675breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15
7776rexbidva 2722 . . . . . . . . . . . . . 14
7877adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
7969, 78syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12
8063, 79bitrd 245 . . . . . . . . . . 11
8154, 59, 803bitrd 271 . . . . . . . . . 10
8281ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9
83 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
84 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12
85 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12
86 nfmpt1 4298 . . . . . . . . . . . . . 14
8747, 86nfcxfr 2569 . . . . . . . . . . . . 13
88 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . . 13
8987, 88nffv 5735 . . . . . . . . . . . 12
9084, 85, 89nfbr 4256 . . . . . . . . . . 11
91 nfcv 2572 . . . . . . . . . . . 12
92 nffvmpt1 5736 . . . . . . . . . . . . 13
9384, 85, 92nfbr 4256 . . . . . . . . . . . 12
9491, 93nfrex 2761 . . . . . . . . . . 11
9590, 94nfbi 1856 . . . . . . . . . 10
96 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12
9796breq2d 4224 . . . . . . . . . . 11
98 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . 13
9998breq2d 4224 . . . . . . . . . . . 12
10099rexbidv 2726 . . . . . . . . . . 11
10197, 100bibi12d 313 . . . . . . . . . 10
10283, 95, 101cbvral 2928 . . . . . . . . 9
10382, 102sylib 189 . . . . . . . 8
104103r19.21bi 2804 . . . . . . 7
105 rexr 9130 . . . . . . . . . 10
106105ad2antlr 708 . . . . . . . . 9
107 elioopnf 10998 . . . . . . . . 9
108106, 107syl 16 . . . . . . . 8
10948adantr 452 . . . . . . . . . 10
110109ffvelrnda 5870 . . . . . . . . 9
111110biantrurd 495 . . . . . . . 8
112108, 111bitr4d 248 . . . . . . 7
113106adantr 452 . . . . . . . . . 10
114 elioopnf 10998 . . . . . . . . . 10
115113, 114syl 16 . . . . . . . . 9
1162, 71fmptd 5893 . . . . . . . . . . . . 13
117116ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . . . 12
118117biantrurd 495 . . . . . . . . . . 11
119118an32s 780 . . . . . . . . . 10
120119adantllr 700 . . . . . . . . 9
121115, 120bitr4d 248 . . . . . . . 8
122121rexbidva 2722 . . . . . . 7
123104, 112, 1223bitr4d 277 . . . . . 6
124123pm5.32da 623 . . . . 5
125 ffn 5591 . . . . . . . 8
12648, 125syl 16 . . . . . . 7
127126adantr 452 . . . . . 6
128 elpreima 5850 . . . . . 6
129127, 128syl 16 . . . . 5
130 eliun 4097 . . . . . 6
131 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11
132116, 131syl 16 . . . . . . . . . 10
133 elpreima 5850 . . . . . . . . . 10
134132, 133syl 16 . . . . . . . . 9
135134rexbidva 2722 . . . . . . . 8
136135adantr 452 . . . . . . 7
137 r19.42v 2862 . . . . . . 7
138136, 137syl6bb 253 . . . . . 6
139130, 138syl5bb 249 . . . . 5
140124, 129, 1393bitr4d 277 . . . 4
141140eqrdv 2434 . . 3
142 zex 10291 . . . . . . 7
143 uzssz 10505 . . . . . . 7
144 ssdomg 7153 . . . . . . 7
145142, 143, 144mp2 9 . . . . . 6
14611, 145eqbrtri 4231 . . . . 5
147 znnen 12812 . . . . 5
148 domentr 7166 . . . . 5
149146, 147, 148mp2an 654 . . . 4
150 mbfsup.4 . . . . . . 7 MblFn
151 mbfima 19524 . . . . . . 7 MblFn
152150, 116, 151syl2anc 643 . . . . . 6
153152ralrimiva 2789 . . . . 5
154153adantr 452 . . . 4
155 iunmbl2 19451 . . . 4
156149, 154, 155sylancr 645 . . 3
157141, 156eqeltrd 2510 . 2
15848, 157ismbf3d 19546 1 MblFn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  cvv 2956   wss 3320  c0 3628  ciun 4093   class class class wbr 4212   cmpt 4266   cid 4493  ccnv 4877   cdm 4878   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cen 7106   cdom 7107  csup 7445  cr 8989   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cle 9121  cn 10000  cz 10282  cuz 10488  cioo 10916  cvol 19360  MblFncmbf 19506 This theorem is referenced by:  mbfinf  19557  mbflimsup  19558 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xadd 10711  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-xmet 16695  df-met 16696  df-ovol 19361  df-vol 19362  df-mbf 19512
 Copyright terms: Public domain W3C validator