MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Unicode version

Theorem mblss 18994
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )

Proof of Theorem mblss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismbl 18989 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( vol * `  x
)  =  ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C_ wss 3228   ~Pcpw 3701   dom cdm 4771   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826    + caddc 8830   vol *covol 18926   volcvol 18927
This theorem is referenced by:  nulmbl2  18998  unmbl  18999  shftmbl  19000  inmbl  19003  difmbl  19004  volun  19006  volinun  19007  volfiniun  19008  voliunlem2  19012  voliunlem3  19013  volsup  19017  volsup2  19064  volcn  19065  vitalilem4  19070  vitalilem5  19071  vitali  19072  ismbf  19089  ismbfcn  19090  mbfconst  19094  mbfid  19095  cncombf  19117  cnmbf  19118  i1fima2  19138  i1fd  19140  itg1ge0  19145  i1f1lem  19148  itg11  19150  i1fadd  19154  i1fmul  19155  itg1addlem2  19156  itg1addlem5  19159  i1fres  19164  itg1ge0a  19170  itg1climres  19173  mbfi1fseqlem4  19177  mbfi1flim  19182  mbfmullem2  19183  itg2const2  19200  itg2splitlem  19207  itg2split  19208  itg2gt0  19219  itg2cnlem2  19221  ibladdlem  19278  itgaddlem1  19281  iblabslem  19286  itggt0  19300  itgcn  19301  ftc1lem4  19490  itgulm  19891  areaf  20367  dmvlsiga  23778  volss  23847  unidmvol  23848  volsupnfl  25491  itg2addnclem  25492  ibladdnclem  25496  itgaddnclem1  25498  iblabsnclem  25503  ftc1cnnclem  25513
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-ico 10754  df-icc 10755  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-ovol 18928  df-vol 18929
  Copyright terms: Public domain W3C validator