MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mblss Unicode version

Theorem mblss 18885
Description: A measurable set is a subset of the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
mblss  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Dummy variable  x is distinct from all other variables.

Proof of Theorem mblss
StepHypRef Expression
1 ismbl 18880 . 2  |-  ( A  e.  dom  vol  <->  ( A  C_  RR  /\  A. x  e.  ~P  RR ( ( vol * `  x
)  e.  RR  ->  ( vol * `  x
)  =  ( ( vol * `  (
x  i^i  A )
)  +  ( vol
* `  ( x  \  A ) ) ) ) ) )
21simplbi 448 1  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545    \ cdif 3151    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   dom cdm 4689   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   RRcr 8732    + caddc 8736   vol *covol 18817   volcvol 18818
This theorem is referenced by:  nulmbl2  18889  unmbl  18890  shftmbl  18891  inmbl  18894  difmbl  18895  volun  18897  volinun  18898  volfiniun  18899  voliunlem2  18903  voliunlem3  18904  volsup  18908  volsup2  18955  volcn  18956  vitalilem4  18961  vitalilem5  18962  vitali  18963  ismbf  18980  ismbfcn  18981  mbfconst  18985  mbfid  18986  cncombf  19008  cnmbf  19009  i1fima2  19029  i1fd  19031  itg1ge0  19036  i1f1lem  19039  itg11  19041  i1fadd  19045  i1fmul  19046  itg1addlem2  19047  itg1addlem5  19050  i1fres  19055  itg1ge0a  19061  itg1climres  19064  mbfi1fseqlem4  19068  mbfi1flim  19073  mbfmullem2  19074  itg2const2  19091  itg2splitlem  19098  itg2split  19099  itg2gt0  19110  itg2cnlem2  19112  ibladdlem  19169  itgaddlem1  19172  iblabslem  19177  itggt0  19191  itgcn  19192  ftc1lem4  19381  itgulm  19779  areaf  20251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-ico 10657  df-icc 10658  df-fz 10778  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-ovol 18819  df-vol 18820
  Copyright terms: Public domain W3C validator