Theorem mddmd 10231

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1.

Assertion

Ref	Expression
mddmd	|- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A MH* x))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem mddmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbrt 10216	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A MH y <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)))))
2		chjcomt 9424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A vH x) = (x vH A))
3	2	ineq1d 2219	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> ((A vH x) i^i y) = ((x vH A) i^i y))
4		incom 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A vH x) i^i y) = (y i^i (A vH x))
5	3, 4	syl5reqr 1525	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> ((x vH A) i^i y) = (y i^i (A vH x)))
6	5	adantlr 395	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((x vH A) i^i y) = (y i^i (A vH x)))
7		chjcomt 9424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((A i^i y) e. CH /\ x e. CH) -> ((A i^i y) vH x) = (x vH (A i^i y)))
8		chinclt 9417	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A i^i y) e. CH)
9	7, 8	sylan 450	. . . . . . . . . . 11 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((A i^i y) vH x) = (x vH (A i^i y)))
10		incom 2211	. . . . . . . . . . . 12 |- (A i^i y) = (y i^i A)
11	10	opreq1i 3977	. . . . . . . . . . 11 |- ((A i^i y) vH x) = ((y i^i A) vH x)
12	9, 11	syl5reqr 1525	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (x vH (A i^i y)) = ((y i^i A) vH x))
13	6, 12	eqeq12d 1492	. . . . . . . . 9 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)) <-> (y i^i (A vH x)) = ((y i^i A) vH x)))
14		eqcom 1480	. . . . . . . . 9 |- ((y i^i (A vH x)) = ((y i^i A) vH x) <-> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))
15	13, 14	syl6bb 538	. . . . . . . 8 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> (((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y)) <-> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))))
16	15	imbi2d 614	. . . . . . 7 |- (((A e. CH /\ y e. CH) /\ x e. CH) -> ((x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y))) <-> (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
17	16	ralbidva 1662	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A.x e. CH (x (_ y -> ((x vH A) i^i y) = (x vH (A i^i y))) <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
18	1, 17	bitrd 530	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ y e. CH) -> (A MH y <-> A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
19	18	ralbidva 1662	. . . 4 |- (A e. CH -> (A.y e. CH A MH y <-> A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
20		breq2 2628	. . . . 5 |- (x = y -> (A MH x <-> A MH y))
21	20	cbvralv 1803	. . . 4 |- (A.x e. CH A MH x <-> A.y e. CH A MH y)
22	19, 21	syl5bb 534	. . 3 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
23		ralcom 1777	. . 3 |- (A.y e. CH A.x e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))) <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x))))
24	22, 23	syl6bb 538	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
25		dmdbrt 10221	. . 3 |- ((A e. CH /\ x e. CH) -> (A MH* x <-> A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
26	25	ralbidva 1662	. 2 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH* x <-> A.x e. CH A.y e. CH (x (_ y -> ((y i^i A) vH x) = (y i^i (A vH x)))))
27	24, 26	bitr4d 533	1 |- (A e. CH -> (A.x e. CH A MH x <-> A.x e. CH A MH* x))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648   i^i cin 2049   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  CHcch 8793   vH chj 8797   MH cmd 8830   MH* cdmd 8831

This theorem is referenced by:  atmd 10321

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hv0cl 8868  ax-hfvmul 8870

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927  df-hlim 8836  df-sh 9071  df-ch 9087  df-chj 9270  df-md 10202  df-dmd 10203

Copyright terms: Public domain