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Theorem mddmd2 22850
Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mddmd2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A  MH*  x ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem mddmd2
StepHypRef Expression
1 breq2 4001 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A  MH  x  <->  A  MH  y ) )
21cbvralv 2739 . . . 4  |-  ( A. x  e.  CH  A  MH  x 
<-> 
A. y  e.  CH  A  MH  y )
3 mdbr 22835 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  MH  y  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A
)  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y
) ) ) ) )
4 incom 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  vH  x )  i^i  y )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) )
5 chjcom 22046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  vH  x
)  =  ( x  vH  A ) )
65ineq1d 3344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  vH  x )  i^i  y
)  =  ( ( x  vH  A )  i^i  y ) )
74, 6syl5reqr 2305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
87adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
9 incom 3336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  i^i  y )  =  ( y  i^i  A
)
109oveq1i 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  i^i  y )  vH  x )  =  ( ( y  i^i 
A )  vH  x
)
11 chincl 22039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  i^i  y
)  e.  CH )
12 chjcom 22046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  y
)  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  y )  vH  x
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )
1311, 12sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( A  i^i  y )  vH  x
)  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )
1410, 13syl5reqr 2305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x ) )
158, 14eqeq12d 2272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  <-> 
( y  i^i  ( A  vH  x ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x ) ) )
16 eqcom 2260 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  ( A  vH  x ) )  =  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  <->  ( (
y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )
1715, 16syl6bb 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) )  <-> 
( ( y  i^i 
A )  vH  x
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) )
1817imbi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  /\  x  e.  CH )  ->  ( ( x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )  <->  ( x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) ) )
1918ralbidva 2534 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A. x  e. 
CH  ( x  C_  y  ->  ( ( x  vH  A )  i^i  y )  =  ( x  vH  ( A  i^i  y ) ) )  <->  A. x  e.  CH  ( x  C_  y  -> 
( ( y  i^i 
A )  vH  x
)  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) ) ) )
203, 19bitrd 246 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CH  /\  y  e.  CH )  ->  ( A  MH  y  <->  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2120ralbidva 2534 . . . 4  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. y  e.  CH  A  MH  y  <->  A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
222, 21syl5bb 250 . . 3  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
23 ralcom 2675 . . 3  |-  ( A. y  e.  CH  A. x  e.  CH  ( x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A )  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x ) ) )  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) )
2422, 23syl6bb 254 . 2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
25 dmdbr 22840 . . 3  |-  ( ( A  e.  CH  /\  x  e.  CH )  ->  ( A  MH*  x  <->  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2625ralbidva 2534 . 2  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH*  x  <->  A. x  e.  CH  A. y  e.  CH  (
x  C_  y  ->  ( ( y  i^i  A
)  vH  x )  =  ( y  i^i  ( A  vH  x
) ) ) ) )
2724, 26bitr4d 249 1  |-  ( A  e.  CH  ->  ( A. x  e.  CH  A  MH  x  <->  A. x  e.  CH  A  MH*  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518    i^i cin 3126    C_ wss 3127   class class class wbr 3997  (class class class)co 5792   CHcch 21470    vH chj 21474    MH cmd 21507    MH* cdmd 21508
This theorem is referenced by:  atmd  22940
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-hilex 21540  ax-hfvadd 21541  ax-hv0cl 21544  ax-hfvmul 21546
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-map 6742  df-n 9715  df-hlim 21513  df-sh 21747  df-ch 21762  df-chj 21850  df-md 22821  df-dmd 22822
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