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Theorem mdegmullem 19460
Description: Lemma for mdegmulle2 19461. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 16183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4028 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  o R  <_ 
c  <->  e  o R  <_  x ) )
1211rabbidv 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
)
13 oveq1 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  o F  -  d )  =  ( x  o F  -  d ) )
1413fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  o F  -  d
) )  =  ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )
1514oveq2d 5836 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  o F  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4099 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  o F  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  o F  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 5845 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5564 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  o F  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 ssrab2 3259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  C_  A
2726sseli 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  ->  d  e.  A )
2827adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2928adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
3022, 1, 2mdegxrcl 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
316, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3231ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
33 nn0ssre 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
34 ressxr 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3533, 34sstri 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
36 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3735, 36sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3837ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
39 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
405, 24tdeglem1 19440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4241ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
43 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : A --> NN0  /\  d  e.  A )  ->  ( H `  d
)  e.  NN0 )
4442, 28, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4535, 44sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4632, 38, 453jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4746adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
48 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
5049anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
5150anasss 628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
52 xrlelttr 10483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5347, 51, 52sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5422, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 29, 53mdeglt 19447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5554oveq1d 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
56 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
58 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
591, 58, 2, 5, 7mplelf 16174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
6059ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
6139ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
62 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  x  e.  A )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x } )
64 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
655, 64psrbagconcl 16115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x } )
6661, 62, 63, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
x  o F  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )
6726, 66sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
x  o F  -  d )  e.  A
)
68 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G : A --> ( Base `  R )  /\  (
x  o F  -  d )  e.  A
)  ->  ( G `  ( x  o F  -  d ) )  e.  ( Base `  R
) )
6960, 67, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  o F  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
7058, 3, 23rnglz 15373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  o F  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7157, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7271adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7355, 72eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7473anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
757ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7667adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( x  o F  -  d
)  e.  A )
7722, 1, 2mdegxrcl 19449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
787, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7978ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
80 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
8135, 80sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8281ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
83 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( H : A --> NN0  /\  ( x  o F  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  NN0 )
8442, 67, 83syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  NN0 )
8535, 84sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  RR* )
8679, 82, 853jca 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* )
)
8786adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* ) )
88 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8988ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
9089anim1i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
9190anasss 628 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
92 xrlelttr 10483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) )
9387, 91, 92sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )
9422, 1, 2, 23, 5, 24, 75, 76, 93mdeglt 19447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  o F  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9594oveq2d 5836 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
961, 58, 2, 5, 6mplelf 16174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9796ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
98 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> ( Base `  R )  /\  d  e.  A )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9997, 28, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
10058, 3, 23rngrz 15374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
10157, 99, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
102101adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
10395, 102eqtrd 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
104103anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
105 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10644nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10784nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  RR )
10836ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
109108nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
11080ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
111110nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
112 le2add 9252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  o F  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
113106, 107, 109, 111, 112syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1145, 24tdeglem3 19441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  o F  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
11561, 28, 67, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
1165psrbagf 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1171163adant3 975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
118 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( d : I --> NN0  /\  b  e.  I )  ->  ( d `  b
)  e.  NN0 )
119117, 118sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
120119nn0cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1215psrbagf 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1221213adant2 974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
123 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x : I --> NN0  /\  b  e.  I )  ->  ( x `  b
)  e.  NN0 )
124122, 123sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
125124nn0cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
126120, 125pncan3d 9156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
127126mpteq2dva 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
128 simp1 955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
129 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d `
 b )  e. 
_V
130129a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
131 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) )  e. 
_V
132131a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
133117feqmptd 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
134 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x `
 b )  e. 
_V
135134a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
136122feqmptd 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
137128, 135, 130, 136, 133offval2 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  o F  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
138128, 130, 132, 133, 137offval2 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
139127, 138, 1363eqtr4d 2326 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  x )
14061, 28, 62, 139syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  x )
141140fveq2d 5490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
142115, 141eqtr3d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
143142breq1d 4034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
144113, 143sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
145106, 109lenltd 8961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
146107, 111lenltd 8961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
147145, 146anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )
148 ioran 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) )
149147, 148syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) ) )
150 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H : A --> NN0  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x
)  e.  NN0 )
15142, 62, 150syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
152151nn0red 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
15336, 80nn0addcld 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
154153ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
155154nn0red 10015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
156152, 155lenltd 8961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
157144, 149, 1563imtr3d 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
158105, 157mt4d 130 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
15974, 104, 158mpjaodan 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
160159mpteq2dva 4107 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
161160oveq2d 5836 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
162 rngmnd 15346 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
16356, 162syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
164163adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
165 ovex 5845 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
166165rabex 4166 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1675, 166eqeltri 2354 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
168167rabex 4166 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  e.  _V
16923gsumz 14454 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
170164, 168, 169sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
171161, 170eqtrd 2316 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
17210, 21, 1713eqtrd 2320 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
173172expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
174173ralrimiva 2627 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1751mplrng 16192 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
17639, 56, 175syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1772, 4rngcl 15350 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
178176, 6, 7, 177syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
17935, 153sseldi 3179 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
18022, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 19446 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
181178, 179, 180syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
182174, 181mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   A.wral 2544   {crab 2548   _Vcvv 2789   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   `'ccnv 4687   "cima 4691   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820    o Fcof 6038    o Rcofr 6039    ^m cmap 6768   Fincfn 6859   RRcr 8732    + caddc 8736   RR*cxr 8862    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033   NNcn 9742   NN0cn0 9961   Basecbs 13144   .rcmulr 13205   0gc0g 13396    gsumg cgsu 13397   Mndcmnd 14357   Ringcrg 15333   mPoly cmpl 16085  ℂfldccnfld 16373   mDeg cmdg 19435
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  19461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811  ax-addf 8812  ax-mulf 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-ofr 6041  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-10 9808  df-n0 9962  df-z 10021  df-dec 10121  df-uz 10227  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-hash 11334  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-mhm 14411  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-mulg 14488  df-subg 14614  df-ghm 14677  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-cring 15337  df-ur 15338  df-subrg 15539  df-psr 16094  df-mpl 16096  df-cnfld 16374  df-mdeg 19437
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