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Theorem mdegmullem 19984
Description: Lemma for mdegmulle2 19985. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegaddle.y  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
mdegaddle.d  |-  D  =  ( I mDeg  R )
mdegaddle.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
mdegaddle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mdegmulle2.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
mdegmulle2.t  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
mdegmulle2.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
mdegmulle2.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
mdegmulle2.j1  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
mdegmulle2.k1  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
mdegmulle2.j2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
mdegmulle2.k2  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
mdegmullem.a  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
mdegmullem.h  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
Assertion
Ref Expression
mdegmullem  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Distinct variable groups:    I, a,
b    R, b    V, b    A, b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    A( a)    B( a, b)    D( a, b)    R( a)    .x. ( a, b)    F( a, b)    G( a, b)    H( a, b)    J( a, b)    K( a, b)    V( a)    Y( a, b)

Proof of Theorem mdegmullem
Dummy variables  c 
d  x  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  ( I mPoly  R )
2 mdegmulle2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  Y
)
3 eqid 2430 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mdegmulle2.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  Y )
5 mdegmullem.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
6 mdegmulle2.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 mdegmulle2.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mplmul 16489 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  =  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) )
98fveq1d 5716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
109adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x ) )
11 breq2 4203 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  (
e  o R  <_ 
c  <->  e  o R  <_  x ) )
1211rabbidv 2935 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  =  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
)
13 oveq1 6074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  x  ->  (
c  o F  -  d )  =  ( x  o F  -  d ) )
1413fveq2d 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  x  ->  ( G `  ( c  o F  -  d
) )  =  ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )
1514oveq2d 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  x  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( c  o F  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) ) )
1612, 15mpteq12dv 4274 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  x  ->  (
d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
c  o F  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) ) ) )
1716oveq2d 6083 . . . . . . 7  |-  ( c  =  x  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
18 eqid 2430 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  A  |->  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) )  =  ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  o F  -  d
) ) ) ) ) )
19 ovex 6092 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  e. 
_V
2017, 18, 19fvmpt 5792 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  (
( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_ 
c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( c  o F  -  d ) ) ) ) ) ) `
 x )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
2120ad2antrl 709 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( c  e.  A  |->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  c }  |->  ( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( c  o F  -  d
) ) ) ) ) ) `  x
)  =  ( R 
gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) ) )
22 mdegaddle.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  D  =  ( I mDeg  R )
23 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
24 mdegmullem.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( b  e.  A  |->  (fld 
gsumg  b ) )
256ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  ->  F  e.  B )
26 elrabi 3077 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  ->  d  e.  A )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  d  e.  A )
2827adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
d  e.  A )
2922, 1, 2mdegxrcl 19973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
306, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
3130ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
32 nn0ssre 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  C_  RR
33 ressxr 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  RR  C_  RR*
3432, 33sstri 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN0  C_  RR*
35 mdegmulle2.j1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
3634, 35sseldi 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  J  e.  RR* )
3736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  RR* )
38 mdegaddle.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
395, 24tdeglem1 19964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( I  e.  V  ->  H : A --> NN0 )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  H : A --> NN0 )
4140ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  H : A --> NN0 )
4241, 27ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  NN0 )
4334, 42sseldi 3333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR* )
4431, 37, 433jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* ) )
4544adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `  d )  e.  RR* ) )
46 mdegmulle2.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  J )
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  F )  <_  J )
4847anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( D `  F
)  <_  J  /\  J  <  ( H `  d ) ) )
4948anasss 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) ) )
50 xrlelttr 10730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  J  e.  RR*  /\  ( H `
 d )  e. 
RR* )  ->  (
( ( D `  F )  <_  J  /\  J  <  ( H `
 d ) )  ->  ( D `  F )  <  ( H `  d )
) )
5145, 49, 50sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( D `  F
)  <  ( H `  d ) )
5222, 1, 2, 23, 5, 24, 25, 28, 51mdeglt 19971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( F `  d
)  =  ( 0g
`  R ) )
5352oveq1d 6082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
54 mdegaddle.r . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5554ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  R  e.  Ring )
56 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
571, 56, 2, 5, 7mplelf 16480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  G : A --> ( Base `  R ) )
5857ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  G : A --> ( Base `  R
) )
59 ssrab2 3415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  C_  A
6038ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  I  e.  V )
61 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  x  e.  A )
62 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x } )
63 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  =  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
645, 63psrbagconcl 16421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A  /\  d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }
)  ->  ( x  o F  -  d
)  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x } )
6560, 61, 62, 64syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
x  o F  -  d )  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )
6659, 65sseldi 3333 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
x  o F  -  d )  e.  A
)
6758, 66ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( G `  ( x  o F  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)
6856, 3, 23rnglz 15683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( G `  ( x  o F  -  d
) )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( ( 0g `  R ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
6955, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( 0g `  R
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
7069adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( 0g `  R ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7153, 70eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  J  <  ( H `  d
) ) )  -> 
( ( F `  d ) ( .r
`  R ) ( G `  ( x  o F  -  d
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
7271anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  J  <  ( H `  d
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
737ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  G  e.  B )
7466adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( x  o F  -  d
)  e.  A )
7522, 1, 2mdegxrcl 19973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
767, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
7776ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
78 mdegmulle2.k1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
7934, 78sseldi 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  K  e.  RR* )
8079ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  RR* )
8141, 66ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  NN0 )
8234, 81sseldi 3333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  RR* )
8377, 80, 823jca 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* )
)
8483adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  e.  RR*  /\  K  e. 
RR*  /\  ( H `  ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* ) )
85 mdegmulle2.k2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  K )
8685ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( D `  G )  <_  K )
8786anim1i 552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) )  ->  ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
8887anasss 629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( D `  G )  <_  K  /\  K  < 
( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
89 xrlelttr 10730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  K  e.  RR*  /\  ( H `
 ( x  o F  -  d ) )  e.  RR* )  ->  ( ( ( D `
 G )  <_  K  /\  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  -> 
( D `  G
)  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) )
9084, 88, 89sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( D `  G )  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )
9122, 1, 2, 23, 5, 24, 73, 74, 90mdeglt 19971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( G `  ( x  o F  -  d ) )  =  ( 0g `  R ) )
9291oveq2d 6083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( 0g `  R ) ) )
931, 56, 2, 5, 6mplelf 16480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  R ) )
9493ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  F : A --> ( Base `  R
) )
9594, 27ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )
9656, 3, 23rngrz 15684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( F `  d )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9755, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( 0g
`  R ) )  =  ( 0g `  R ) )
9897adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  R
) )
9992, 98eqtrd 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  ( d  e. 
{ e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )
( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
10099anassrs 630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  /\  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) )  ->  ( ( F `
 d ) ( .r `  R ) ( G `  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
101 simplrr 738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) )
10242nn0red 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  d )  e.  RR )
10381nn0red 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( x  o F  -  d
) )  e.  RR )
10435ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  NN0 )
105104nn0red 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  J  e.  RR )
10678ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  NN0 )
107106nn0red 10259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  K  e.  RR )
108 le2add 9494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( H `  d )  e.  RR  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  e.  RR )  /\  ( J  e.  RR  /\  K  e.  RR ) )  -> 
( ( ( H `
 d )  <_  J  /\  ( H `  ( x  o F  -  d ) )  <_  K )  -> 
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
) ) )
109102, 103, 105, 107, 108syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  <_  ( J  +  K )
) )
1105, 24tdeglem3 19965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  ( x  o F  -  d )  e.  A )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
11160, 27, 66, 110syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( ( H `
 d )  +  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
1125psrbagf 16415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
1131123adant3 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d : I --> NN0 )
114113ffvelrnda 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  NN0 )
115114nn0cnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  CC )
1165psrbagf 16415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( I  e.  V  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
1171163adant2 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x : I --> NN0 )
118117ffvelrnda 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  NN0 )
119118nn0cnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  CC )
120115, 119pncan3d 9398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( d `  b
)  +  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) ) )  =  ( x `  b ) )
121120mpteq2dva 4282 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `  b
)  -  ( d `
 b ) ) ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( x `  b ) ) )
122 simp1 957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  I  e.  V )
123 fvex 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( d `
 b )  e. 
_V
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
d `  b )  e.  _V )
125 ovex 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x `  b )  -  ( d `  b ) )  e. 
_V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
( x `  b
)  -  ( d `
 b ) )  e.  _V )
127113feqmptd 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  d  =  ( b  e.  I  |->  ( d `
 b ) ) )
128 fvex 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x `
 b )  e. 
_V
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A
)  /\  b  e.  I )  ->  (
x `  b )  e.  _V )
130117feqmptd 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x  =  ( b  e.  I  |->  ( x `
 b ) ) )
131122, 129, 124, 130, 127offval2 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x  o F  -  d )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( x `  b )  -  (
d `  b )
) ) )
132122, 124, 126, 127, 131offval2 6308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  ( b  e.  I  |->  ( ( d `  b )  +  ( ( x `
 b )  -  ( d `  b
) ) ) ) )
133121, 132, 1303eqtr4d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  V  /\  d  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  x )
13460, 27, 61, 133syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
d  o F  +  ( x  o F  -  d ) )  =  x )
135134fveq2d 5718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  ( d  o F  +  (
x  o F  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
136111, 135eqtr3d 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  +  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( H `  x ) )
137136breq1d 4209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  +  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) )  <_ 
( J  +  K
)  <->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K )
) )
138109, 137sylibd 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  ->  ( H `  x )  <_  ( J  +  K
) ) )
139102, 105lenltd 9203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  d
)  <_  J  <->  -.  J  <  ( H `  d
) ) )
140103, 107lenltd 9203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K 
<->  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d
) ) ) )
141139, 140anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )
142 ioran 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  <->  ( -.  J  <  ( H `  d )  /\  -.  K  <  ( H `  ( x  o F  -  d ) ) ) )
143141, 142syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( ( H `  d )  <_  J  /\  ( H `  (
x  o F  -  d ) )  <_  K )  <->  -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) ) )
14441, 61ffvelrnd 5857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  NN0 )
145144nn0red 10259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( H `  x )  e.  RR )
14635, 78nn0addcld 10262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  NN0 )
147146ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  NN0 )
148147nn0red 10259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  +  K )  e.  RR )
149145, 148lenltd 9203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( H `  x
)  <_  ( J  +  K )  <->  -.  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )
150138, 143, 1493imtr3d 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( -.  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `
 ( x  o F  -  d ) ) )  ->  -.  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )
151101, 150mt4d 132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  ( J  <  ( H `  d )  \/  K  <  ( H `  (
x  o F  -  d ) ) ) )
15272, 100, 151mpjaodan 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  A  /\  ( J  +  K
)  <  ( H `  x ) ) )  /\  d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x } )  ->  (
( F `  d
) ( .r `  R ) ( G `
 ( x  o F  -  d ) ) )  =  ( 0g `  R ) )
153152mpteq2dva 4282 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) )  =  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( 0g `  R ) ) )
154153oveq2d 6083 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) ) )
155 rngmnd 15656 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
15654, 155syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
157156adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  ->  R  e.  Mnd )
158 ovex 6092 . . . . . . . . . 10  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
159158rabex 4341 . . . . . . . . 9  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' a " NN )  e.  Fin }  e.  _V
1605, 159eqeltri 2500 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
161160rabex 4341 . . . . . . 7  |-  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  e.  _V
16223gsumz 14764 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  { e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  e.  _V )  ->  ( R  gsumg  ( d  e.  { e  e.  A  |  e  o R  <_  x }  |->  ( 0g `  R
) ) )  =  ( 0g `  R
) )
163157, 161, 162sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( 0g
`  R ) ) )  =  ( 0g
`  R ) )
164154, 163eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( R  gsumg  ( d  e.  {
e  e.  A  | 
e  o R  <_  x }  |->  ( ( F `  d ) ( .r `  R
) ( G `  ( x  o F  -  d ) ) ) ) )  =  ( 0g `  R
) )
16510, 21, 1643eqtrd 2466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  ( J  +  K )  <  ( H `  x
) ) )  -> 
( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) )
166165expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( J  +  K
)  <  ( H `  x )  ->  (
( F  .x.  G
) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) )
167166ralrimiva 2776 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x )  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x
)  =  ( 0g
`  R ) ) )
1681mplrng 16498 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  R  e.  Ring )  ->  Y  e.  Ring )
16938, 54, 168syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
1702, 4rngcl 15660 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .x.  G )  e.  B )
171169, 6, 7, 170syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .x.  G
)  e.  B )
17234, 146sseldi 3333 . . 3  |-  ( ph  ->  ( J  +  K
)  e.  RR* )
17322, 1, 2, 23, 5, 24mdegleb 19970 . . 3  |-  ( ( ( F  .x.  G
)  e.  B  /\  ( J  +  K
)  e.  RR* )  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
174171, 172, 173syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K )  <->  A. x  e.  A  ( ( J  +  K )  <  ( H `  x
)  ->  ( ( F  .x.  G ) `  x )  =  ( 0g `  R ) ) ) )
175167, 174mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .x.  G ) )  <_  ( J  +  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692   {crab 2696   _Vcvv 2943   class class class wbr 4199    e. cmpt 4253   `'ccnv 4863   "cima 4867   -->wf 5436   ` cfv 5440  (class class class)co 6067    o Fcof 6289    o Rcofr 6290    ^m cmap 7004   Fincfn 7095   RRcr 8973    + caddc 8977   RR*cxr 9103    < clt 9104    <_ cle 9105    - cmin 9275   NNcn 9984   NN0cn0 10205   Basecbs 13452   .rcmulr 13513   0gc0g 13706    gsumg cgsu 13707   Mndcmnd 14667   Ringcrg 15643   mPoly cmpl 16391  ℂfldccnfld 16686   mDeg cmdg 19959
This theorem is referenced by:  mdegmulle2  19985
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-se 4529  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-isom 5449  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-of 6291  df-ofr 6292  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-2o 6711  df-oadd 6714  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-ixp 7050  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-fin 7099  df-sup 7432  df-oi 7463  df-card 7810  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-5 10045  df-6 10046  df-7 10047  df-8 10048  df-9 10049  df-10 10050  df-n0 10206  df-z 10267  df-dec 10367  df-uz 10473  df-fz 11028  df-fzo 11119  df-seq 11307  df-hash 11602  df-struct 13454  df-ndx 13455  df-slot 13456  df-base 13457  df-sets 13458  df-ress 13459  df-plusg 13525  df-mulr 13526  df-starv 13527  df-sca 13528  df-vsca 13529  df-tset 13531  df-ple 13532  df-ds 13534  df-unif 13535  df-0g 13710  df-gsum 13711  df-mre 13794  df-mrc 13795  df-acs 13797  df-mnd 14673  df-mhm 14721  df-submnd 14722  df-grp 14795  df-minusg 14796  df-mulg 14798  df-subg 14924  df-ghm 14987  df-cntz 15099  df-cmn 15397  df-abl 15398  df-mgp 15632  df-rng 15646  df-cring 15647  df-ur 15648  df-subrg 15849  df-psr 16400  df-mpl 16402  df-cnfld 16687  df-mdeg 19961
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