Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdegvsca Structured version   Unicode version

Theorem mdegvsca 19991
 Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a non-zero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mdegvsca.b
mdegvsca.e RLReg
mdegvsca.p
mdegvsca.f
mdegvsca.g
Assertion
Ref Expression
mdegvsca

Proof of Theorem mdegvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mdegaddle.y . . . . . . . 8 mPoly
2 mdegvsca.p . . . . . . . 8
3 eqid 2435 . . . . . . . 8
4 mdegvsca.b . . . . . . . 8
5 eqid 2435 . . . . . . . 8
6 eqid 2435 . . . . . . . 8
7 mdegvsca.e . . . . . . . . . 10 RLReg
87, 3rrgss 16344 . . . . . . . . 9
9 mdegvsca.f . . . . . . . . 9
108, 9sseldi 3338 . . . . . . . 8
11 mdegvsca.g . . . . . . . 8
121, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11mplvsca 16502 . . . . . . 7
1312cnveqd 5040 . . . . . 6
1413imaeq1d 5194 . . . . 5
15 eqid 2435 . . . . . 6
16 ovex 6098 . . . . . . . 8
1716rabex 4346 . . . . . . 7
1817a1i 11 . . . . . 6
19 mdegaddle.r . . . . . 6
201, 3, 4, 6, 11mplelf 16489 . . . . . 6
217, 3, 5, 15, 18, 19, 9, 20rrgsupp 16343 . . . . 5
2214, 21eqtrd 2467 . . . 4
2322imaeq2d 5195 . . 3 fld g fld g
2423supeq1d 7443 . 2 fld g fld g
25 mdegaddle.i . . . . 5
261mpllmod 16506 . . . . 5
2725, 19, 26syl2anc 643 . . . 4
281, 25, 19mplsca 16500 . . . . . 6 Scalar
2928fveq2d 5724 . . . . 5 Scalar
3010, 29eleqtrd 2511 . . . 4 Scalar
31 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
32 eqid 2435 . . . . 5 Scalar Scalar
334, 31, 2, 32lmodvscl 15959 . . . 4 Scalar
3427, 30, 11, 33syl3anc 1184 . . 3
35 mdegaddle.d . . . 4 mDeg
36 eqid 2435 . . . 4 fld g fld g
3735, 1, 4, 15, 6, 36mdegval 19978 . . 3 fld g
3834, 37syl 16 . 2 fld g
3935, 1, 4, 15, 6, 36mdegval 19978 . . 3 fld g
4011, 39syl 16 . 2 fld g
4124, 38, 403eqtr4d 2477 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  crab 2701  cvv 2948   cdif 3309  csn 3806   cmpt 4258   cxp 4868  ccnv 4869  cima 4873  cfv 5446  (class class class)co 6073   cof 6295   cmap 7010  cfn 7101  csup 7437  cxr 9111   clt 9112  cn 9992  cn0 10213  cbs 13461  cmulr 13522  Scalarcsca 13524  cvsca 13525  c0g 13715   g cgsu 13716  crg 15652  clmod 15942  RLRegcrlreg 16331   mPoly cmpl 16400  ℂfldccnfld 16695   mDeg cmdg 19968 This theorem is referenced by:  deg1vsca  20020 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-rlreg 16335  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-mdeg 19970
 Copyright terms: Public domain W3C validator