Theorem mdsldmd1 10249

Description: Preservation of the dual modular pair property in the one-to-one onto mapping between the two sublattices in Lemma 1.3 of [MaedaMaeda] p. 2.

Hypotheses

Ref	Expression
mdslmd.1	|- A e. CH
mdslmd.2	|- B e. CH
mdslmd.3	|- C e. CH
mdslmd.4	|- D e. CH

Assertion

Ref	Expression
mdsldmd1	|- (((A MH B /\ B MH* A) /\ (A (_ (C i^i D) /\ (C vH D) (_ (A vH B))) -> (C MH* D <-> (C i^i B) MH* (D i^i B)))

Proof of Theorem mdsldmd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdslmd.2	. . . 4 |- B e. CH
2	1	choccl 9173	. . 3 |- (_|_` B) e. CH
3		mdslmd.1	. . . 4 |- A e. CH
4	3	choccl 9173	. . 3 |- (_|_` A) e. CH
5		mdslmd.3	. . . 4 |- C e. CH
6	5	choccl 9173	. . 3 |- (_|_` C) e. CH
7		mdslmd.4	. . . 4 |- D e. CH
8	7	choccl 9173	. . 3 |- (_|_` D) e. CH
9	2, 4, 6, 8	mdslmd2 10248	. 2 |- ((((_|_` B) MH (_|_` A) /\ (_|_` A) MH* (_|_` B)) /\ (((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)) /\ ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A))) -> ((_|_` C) MH (_|_` D) <-> ((_|_` C) vH (_|_` B)) MH ((_|_` D) vH (_|_` B))))
10		ancom 435	. . . 4 |- ((A MH B /\ B MH* A) <-> (B MH* A /\ A MH B))
11		dmdmdt 10218	. . . . . 6 |- ((B e. CH /\ A e. CH) -> (B MH* A <-> (_|_` B) MH (_|_` A)))
12	1, 3, 11	mp2an 696	. . . . 5 |- (B MH* A <-> (_|_` B) MH (_|_` A))
13		mddmdt 10219	. . . . . 6 |- ((A e. CH /\ B e. CH) -> (A MH B <-> (_|_` A) MH* (_|_` B)))
14	3, 1, 13	mp2an 696	. . . . 5 |- (A MH B <-> (_|_` A) MH* (_|_` B))
15	12, 14	anbi12i 482	. . . 4 |- ((B MH* A /\ A MH B) <-> ((_|_` B) MH (_|_` A) /\ (_|_` A) MH* (_|_` B)))
16	10, 15	bitr 173	. . 3 |- ((A MH B /\ B MH* A) <-> ((_|_` B) MH (_|_` A) /\ (_|_` A) MH* (_|_` B)))
17		ancom 435	. . . 4 |- ((A (_ (C i^i D) /\ (C vH D) (_ (A vH B)) <-> ((C vH D) (_ (A vH B) /\ A (_ (C i^i D)))
18	5, 7	chjcl 9368	. . . . . . 7 |- (C vH D) e. CH
19	3, 1	chjcl 9368	. . . . . . 7 |- (A vH B) e. CH
20	18, 19	chsscon3 9372	. . . . . 6 |- ((C vH D) (_ (A vH B) <-> (_|_` (A vH B)) (_ (_|_` (C vH D)))
21	3, 1	chdmj1 9392	. . . . . . . 8 |- (_|_` (A vH B)) = ((_|_` A) i^i (_|_` B))
22		incom 2206	. . . . . . . 8 |- ((_|_` A) i^i (_|_` B)) = ((_|_` B) i^i (_|_` A))
23	21, 22	eqtr 1494	. . . . . . 7 |- (_|_` (A vH B)) = ((_|_` B) i^i (_|_` A))
24	5, 7	chdmj1 9392	. . . . . . 7 |- (_|_` (C vH D)) = ((_|_` C) i^i (_|_` D))
25	23, 24	sseq12i 2085	. . . . . 6 |- ((_|_` (A vH B)) (_ (_|_` (C vH D)) <-> ((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)))
26	20, 25	bitr 173	. . . . 5 |- ((C vH D) (_ (A vH B) <-> ((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)))
27	5, 7	chincl 9371	. . . . . . 7 |- (C i^i D) e. CH
28	3, 27	chsscon3 9372	. . . . . 6 |- (A (_ (C i^i D) <-> (_|_` (C i^i D)) (_ (_|_` A))
29	5, 7	chdmm1 9388	. . . . . . 7 |- (_|_` (C i^i D)) = ((_|_` C) vH (_|_` D))
30	29	sseq1i 2083	. . . . . 6 |- ((_|_` (C i^i D)) (_ (_|_` A) <-> ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A))
31	28, 30	bitr 173	. . . . 5 |- (A (_ (C i^i D) <-> ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A))
32	26, 31	anbi12i 482	. . . 4 |- (((C vH D) (_ (A vH B) /\ A (_ (C i^i D)) <-> (((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)) /\ ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A)))
33	17, 32	bitr 173	. . 3 |- ((A (_ (C i^i D) /\ (C vH D) (_ (A vH B)) <-> (((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)) /\ ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A)))
34	16, 33	anbi12i 482	. 2 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ (A (_ (C i^i D) /\ (C vH D) (_ (A vH B))) <-> (((_|_` B) MH (_|_` A) /\ (_|_` A) MH* (_|_` B)) /\ (((_|_` B) i^i (_|_` A)) (_ ((_|_` C) i^i (_|_` D)) /\ ((_|_` C) vH (_|_` D)) (_ (_|_` A))))
35		dmdmdt 10218	. . . 4 |- ((C e. CH /\ D e. CH) -> (C MH* D <-> (_|_` C) MH (_|_` D)))
36	5, 7, 35	mp2an 696	. . 3 |- (C MH* D <-> (_|_` C) MH (_|_` D))
37	5, 1	chincl 9371	. . . . 5 |- (C i^i B) e. CH
38	7, 1	chincl 9371	. . . . 5 |- (D i^i B) e. CH
39		dmdmdt 10218	. . . . 5 |- (((C i^i B) e. CH /\ (D i^i B) e. CH) -> ((C i^i B) MH* (D i^i B) <-> (_|_` (C i^i B)) MH (_|_` (D i^i B))))
40	37, 38, 39	mp2an 696	. . . 4 |- ((C i^i B) MH* (D i^i B) <-> (_|_` (C i^i B)) MH (_|_` (D i^i B)))
41	5, 1	chdmm1 9388	. . . . 5 |- (_|_` (C i^i B)) = ((_|_` C) vH (_|_` B))
42	7, 1	chdmm1 9388	. . . . 5 |- (_|_` (D i^i B)) = ((_|_` D) vH (_|_` B))
43	41, 42	breq12i 2625	. . . 4 |- ((_|_` (C i^i B)) MH (_|_` (D i^i B)) <-> ((_|_` C) vH (_|_` B)) MH ((_|_` D) vH (_|_` B)))
44	40, 43	bitr 173	. . 3 |- ((C i^i B) MH* (D i^i B) <-> ((_|_` C) vH (_|_` B)) MH ((_|_` D) vH (_|_` B)))
45	36, 44	bibi12i 609	. 2 |- ((C MH* D <-> (C i^i B) MH* (D i^i B)) <-> ((_|_` C) MH (_|_` D) <-> ((_|_` C) vH (_|_` B)) MH ((_|_` D) vH (_|_` B))))
46	9, 34, 45	3imtr4 219	1 |- (((A MH B /\ B MH* A) /\ (A (_ (C i^i D) /\ (C vH D) (_ (A vH B))) -> (C MH* D <-> (C i^i B) MH* (D i^i B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 957   i^i cin 2044   (_ wss 2045   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  CHcch 8782  _|_cort 8783   vH chj 8786   MH cmd 8819   MH* cdmd 8820

This theorem is referenced by:  dmdcompl 10348

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-shsum 9261  df-chj 9263  df-md 10198  df-dmd 10199

Copyright terms: Public domain