Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measdivcst Structured version   Unicode version

Theorem measdivcst 24581
 Description: Division of a measure by a positive constant is a measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2016.) (Revised by Thierry Arnoux, 30-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
measdivcst measures 𝑓/𝑐 /𝑒 measures

Proof of Theorem measdivcst
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ofcfval3 24487 . . 3 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 /𝑒
2 measfrge0 24559 . . . . . 6 measures
3 fdm 5597 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5 measures
54adantr 453 . . . 4 measures
65mpteq1d 4292 . . 3 measures /𝑒 /𝑒
71, 6eqtrd 2470 . 2 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 /𝑒
8 measvxrge0 24561 . . . . . 6 measures
98adantlr 697 . . . . 5 measures
10 simplr 733 . . . . 5 measures
119, 10xrpxdivcld 24183 . . . 4 measures /𝑒
12 eqid 2438 . . . 4 /𝑒 /𝑒
1311, 12fmptd 5895 . . 3 measures /𝑒
14 measbase 24553 . . . . . . 7 measures sigAlgebra
15 0elsiga 24499 . . . . . . 7 sigAlgebra
1614, 15syl 16 . . . . . 6 measures
1716adantr 453 . . . . 5 measures
18 ovex 6108 . . . . 5 /𝑒
19 fveq2 5730 . . . . . . 7
2019oveq1d 6098 . . . . . 6 /𝑒 /𝑒
2120, 12fvmptg 5806 . . . . 5 /𝑒 /𝑒 /𝑒
2217, 18, 21sylancl 645 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒
23 measvnul 24562 . . . . . 6 measures
2423oveq1d 6098 . . . . 5 measures /𝑒 /𝑒
25 xdiv0rp 24178 . . . . 5 /𝑒
2624, 25sylan9eq 2490 . . . 4 measures /𝑒
2722, 26eqtrd 2470 . . 3 measures /𝑒
28 simpll 732 . . . . . 6 measures Disj measures
29 simplr 733 . . . . . . 7 measures Disj
30 simprl 734 . . . . . . 7 measures Disj
31 simprr 735 . . . . . . 7 measures Disj Disj
3229, 30, 313jca 1135 . . . . . 6 measures Disj Disj
33 vex 2961 . . . . . . . . . 10
3433a1i 11 . . . . . . . . 9 measures
35 simplll 736 . . . . . . . . . 10 measures measures
3633elpw 3807 . . . . . . . . . . . 12
37 ssel2 3345 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37sylanb 460 . . . . . . . . . . 11
3938adantll 696 . . . . . . . . . 10 measures
40 measvxrge0 24561 . . . . . . . . . 10 measures
4135, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . 9 measures
42 simplr 733 . . . . . . . . 9 measures
4334, 41, 42esumdivc 24475 . . . . . . . 8 measures Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
44433ad2antr1 1123 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
4514ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 measures Disj sigAlgebra
46 simpr1 964 . . . . . . . . . 10 measures Disj
47 simpr2 965 . . . . . . . . . 10 measures Disj
48 sigaclcu 24502 . . . . . . . . . 10 sigAlgebra
4945, 46, 47, 48syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 measures Disj
50 fveq2 5730 . . . . . . . . . . 11
5150oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
52 ovex 6108 . . . . . . . . . 10 /𝑒
5351, 12, 52fvmpt3i 5811 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
5449, 53syl 16 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 /𝑒
55 simpll 732 . . . . . . . . . 10 measures Disj measures
56 simpr3 966 . . . . . . . . . 10 measures Disj Disj
57 measvun 24565 . . . . . . . . . 10 measures Disj Σ*
5855, 46, 47, 56, 57syl112anc 1189 . . . . . . . . 9 measures Disj Σ*
5958oveq1d 6098 . . . . . . . 8 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6054, 59eqtrd 2470 . . . . . . 7 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
61 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11 /𝑒 /𝑒
6362, 12, 52fvmpt3i 5811 . . . . . . . . . 10 /𝑒 /𝑒
6438, 63syl 16 . . . . . . . . 9 /𝑒 /𝑒
6564esumeq2dv 24437 . . . . . . . 8 Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6646, 65syl 16 . . . . . . 7 measures Disj Σ* /𝑒 Σ* /𝑒
6744, 60, 663eqtr4d 2480 . . . . . 6 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6828, 32, 67syl2anc 644 . . . . 5 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
6968ex 425 . . . 4 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7069ralrimiva 2791 . . 3 measures Disj /𝑒 Σ* /𝑒
71 ismeas 24555 . . . . . 6 sigAlgebra /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7214, 71syl 16 . . . . 5 measures /𝑒 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒
7372biimprd 216 . . . 4 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
7473adantr 453 . . 3 measures /𝑒 /𝑒 Disj /𝑒 Σ* /𝑒 /𝑒 measures
7513, 27, 70, 74mp3and 1283 . 2 measures /𝑒 measures
767, 75eqeltrd 2512 1 measures 𝑓/𝑐 /𝑒 measures
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  cvv 2958   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017  Disj wdisj 4184   class class class wbr 4214   cmpt 4268  com 4847   cdm 4880   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cdom 7109  cc0 8992   cpnf 9119  crp 10614  cicc 10921   /𝑒 cxdiv 24165  Σ*cesum 24426  ∘𝑓/𝑐cofc 24480  sigAlgebracsiga 24492  measurescmeas 24551 This theorem is referenced by:  probfinmeasb  24689 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-ordt 13727  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-ps 14631  df-tsr 14632  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-ntr 17086  df-nei 17164  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-tsms 18158  df-xdiv 24166  df-esum 24427  df-ofc 24481  df-siga 24493  df-meas 24552
 Copyright terms: Public domain W3C validator