Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  measvunilem Structured version   Unicode version

Theorem measvunilem 24558
Description: Lemma for measvuni 24560 (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 19-Feb-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 6-Mar-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
measvunilem.1  |-  F/_ x A
Assertion
Ref Expression
measvunilem  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Distinct variable groups:    x, M    x, S
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)

Proof of Theorem measvunilem
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  M  e.  (measures `  S
) )
2 simp3l 985 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  A  ~<_  om )
3 measvunilem.1 . . . . . . 7  |-  F/_ x A
43abrexctf 24105 . . . . . 6  |-  ( A  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om )
6 ctex 24092 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V )
8 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
9 eldifi 3461 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( S  \  { (/) } )  ->  B  e.  S )
109ralimi 2773 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  A. x  e.  A  B  e.  S )
11 nfcv 2571 . . . . . . 7  |-  F/_ x S
1211abrexss 23985 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  S  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
1310, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S )
148, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)
15 elpwg 3798 . . . . 5  |-  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  ->  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  <->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S ) )
1615biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  _V  /\ 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  C_  S
)  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
177, 14, 16syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S )
18 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> Disj  x  e.  A B )
193disjabrexf 24017 . . . 4  |-  (Disj  x  e.  A B  -> Disj  z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B } z )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z )
21 measvun 24555 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  e.  ~P S  /\  ( { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ~<_  om  /\ Disj  z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B }
z ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
221, 17, 5, 20, 21syl112anc 1188 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> 
( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )  = Σ* z  e.  { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } 
( M `  z
) )
23 dfiun2g 4115 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  U_ x  e.  A  B  =  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } )
2423fveq2d 5724 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  ->  ( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
258, 24syl 16 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  =  ( M `  U. { y  |  E. x  e.  A  y  =  B } ) )
26 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ x  M  e.  (measures `  S
)
27 nfra1 2748 . . . 4  |-  F/ x A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )
28 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x  ~<_
29 nfcv 2571 . . . . . 6  |-  F/_ x om
303, 28, 29nfbr 4248 . . . . 5  |-  F/ x  A  ~<_  om
31 nfdisj1 4187 . . . . 5  |-  F/ xDisj  x  e.  A B
3230, 31nfan 1846 . . . 4  |-  F/ x
( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B )
3326, 27, 32nf3an 1849 . . 3  |-  F/ x
( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )
34 fveq2 5720 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  ( M `  z )  =  ( M `  B ) )
35 ctex 24092 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
362, 35syl 16 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  A  e.  _V )
378r19.21bi 2796 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )
3833, 3, 37, 18disjdsct 24082 . . 3  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  ->  Fun  `' ( x  e.  A  |->  B ) )
39 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  M  e.  (measures `  S ) )
40 measvxrge0 24551 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  S )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
419, 40sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  B  e.  ( S  \  { (/) } ) )  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
4239, 37, 41syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  (measures `  S )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/)
} )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( M `  B )  e.  ( 0 [,]  +oo )
)
4333, 3, 34, 36, 38, 42, 37esumc 24438 . 2  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> Σ* x  e.  A ( M `  B )  = Σ* z  e. 
{ y  |  E. x  e.  A  y  =  B }  ( M `
 z ) )
4422, 25, 433eqtr4d 2477 1  |-  ( ( M  e.  (measures `  S
)  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( S  \  { (/) } )  /\  ( A  ~<_  om  /\ Disj  x  e.  A B ) )  -> 
( M `  U_ x  e.  A  B )  = Σ* x  e.  A ( M `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   F/_wnfc 2558   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   U.cuni 4007   U_ciun 4085  Disj wdisj 4174   class class class wbr 4204   omcom 4837   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ~<_ cdom 7099   0cc0 8982    +oocpnf 9109   [,]cicc 10911  Σ*cesum 24416  measurescmeas 24541
This theorem is referenced by:  measvuni  24560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-ac2 8335  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-ac 7989  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-xadd 10703  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-ordt 13717  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-ps 14621  df-tsr 14622  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-ntr 17076  df-nei 17154  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-tsms 18148  df-esum 24417  df-meas 24542
  Copyright terms: Public domain W3C validator