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Theorem meetlem 14224
Description: Lemma for meet properties. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
meetval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
meetval2.s  |-  .<_  =  ( le `  K )
meetval2.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
meetlem  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, K    z,  .<_   
z, X    z, Y    z, 
./\

Proof of Theorem meetlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meetval2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 meetval2.s . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 meetval2.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
41, 2, 3meetval2 14223 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
54eleq1d 2424 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  <->  ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  e.  B ) )
6 fvex 5619 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2428 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
87riotaclb 6429 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B )
9 riotasbc 6404 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )
108, 9sylbir 204 . . . . 5  |-  ( (
iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )
115, 10syl6bi 219 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B
( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) ) )
12 dfsbcq 3069 . . . . 5  |-  ( ( X  ./\  Y )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) )  ->  ( [. ( X  ./\  Y )  /  x ]. ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
134, 12syl 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( [. ( X 
./\  Y )  /  x ]. ( ( x 
.<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) ) )  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1411, 13sylibrd 225 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  ->  [. ( X  ./\  Y
)  /  x ]. ( ( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z 
.<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  x ) ) ) )
15 ovex 5967 . . . 4  |-  ( X 
./\  Y )  e. 
_V
16 breq1 4105 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( x  .<_  X  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  X )
)
17 breq1 4105 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( x  .<_  Y  <->  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
)
1816, 17anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  <->  ( ( X  ./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )
) )
19 breq2 4106 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( z  .<_  x  <->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) )
2019imbi2d 307 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x )  <->  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
2120ralbidv 2639 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( (
z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X  ./\  Y
) ) ) )
2218, 21anbi12d 691 . . . 4  |-  ( x  =  ( X  ./\  Y )  ->  ( (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
2315, 22sbcie 3101 . . 3  |-  ( [. ( X  ./\  Y )  /  x ]. (
( x  .<_  X  /\  x  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  x ) )  <-> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) )
2414, 23syl6ib 217 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  B  -> 
( ( ( X 
./\  Y )  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  ( ( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  ->  z  .<_  ( X 
./\  Y ) ) ) ) )
2524imp 418 1  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .<_  X  /\  ( X  ./\  Y )  .<_  Y )  /\  A. z  e.  B  (
( z  .<_  X  /\  z  .<_  Y )  -> 
z  .<_  ( X  ./\  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E!wreu 2621   _Vcvv 2864   [.wsbc 3067   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   iota_crio 6381   Basecbs 13239   lecple 13306   meetcmee 14172
This theorem is referenced by:  lemeet1  14225  lemeet2  14226  meetle  14227
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-undef 6382  df-riota 6388  df-glb 14202  df-meet 14204
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