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Theorem mersenne 21011
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form  2 ^ P  - 
1. This theorem shows that the  P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
2 2nn0 10238 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
32numexp1 13413 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
4 df-2 10058 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
53, 4eqtri 2456 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
6 prmuz2 13097 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluz2b2 10548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
98simprbi 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( ( 2 ^ P
)  -  1 ) )
107, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) )
11 1re 9090 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  RR )
13 2re 10069 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  e.  RR )
15 2ne0 10083 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  =/=  0 )
1714, 16, 1reexpclzd 11548 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ P
)  e.  RR )
1812, 12, 17ltaddsubd 9626 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ P )  <->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
1910, 18mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ P ) )
205, 19syl5eqbr 4245 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) )
21 1z 10311 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  ZZ )
23 1lt2 10142 . . . . . 6  |-  1  <  2
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  2 )
2514, 22, 1, 24ltexp2d 11552 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  <  P  <->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) ) )
2620, 25mpbird 224 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  P )
27 eluz2b1 10547 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
281, 26, 27sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
29 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )
30 prmnn 13082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  NN )
3231nncnd 10016 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  CC )
33 2nn 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
34 elfzuz 11055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3534ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
36 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
3736simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
3835, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN )
3938nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN0 )
40 nnexpcl 11394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
4133, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
4241nnzd 10374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  ZZ )
43 peano2zm 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4442, 43syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4544zred 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  RR )
4645recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  CC )
47 0re 9091 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4847a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  e.  RR )
4911a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  RR )
50 0lt1 9550 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
5150a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  1 )
5236simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  k )
5335, 52syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  k )
5413a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  RR )
5521a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
56 elfzelz 11059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
5756ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ZZ )
5823a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  2 )
5954, 55, 57, 58ltexp2d 11552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  <  k  <->  ( 2 ^ 1 )  < 
( 2 ^ k
) ) )
6053, 59mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ k ) )
615, 60syl5eqbrr 4246 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  +  1 )  <  ( 2 ^ k ) )
6241nnred 10015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR )
6349, 49, 62ltaddsubd 9626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ k )  <->  1  <  ( ( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
6461, 63mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
6548, 49, 45, 51, 64lttrd 9231 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
66 elnnz 10292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
6744, 65, 66sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN )
6867nnne0d 10044 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =/=  0 )
6932, 46, 68divcan2d 9792 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
7069, 29eqeltrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  e.  Prime )
71 eluz2b2 10548 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
7267, 64, 71sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
7341nncnd 10016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
74 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
75 subeq0 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  0  <-> 
( 2 ^ k
)  =  1 ) )
7673, 74, 75sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =  0  <->  (
2 ^ k )  =  1 ) )
7776necon3bid 2636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =/=  0  <->  (
2 ^ k )  =/=  1 ) )
7868, 77mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  =/=  1 )
79 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  ||  P )
80 eluz2b2 10548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8180simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
8228, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
8382ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  NN )
84 nndivdvds 12858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8583, 38, 84syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8679, 85mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e.  NN )
8786nnnn0d 10274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e. 
NN0 )
8873, 78, 87geoser 12646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( 1  -  (
( 2 ^ k
) ^ ( P  /  k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) ) )
8917ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  RR )
9089recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  CC )
91 negsubdi2 9360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P ) ) )
9290, 74, 91sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P
) ) )
9383nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  CC )
9438nncnd 10016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  CC )
9538nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  =/=  0 )
9693, 94, 95divcan2d 9792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  x.  ( P  /  k ) )  =  P )
9796oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( 2 ^ P ) )
9854recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  CC )
9998, 87, 39expmuld 11526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
10097, 99eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
101100oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  -  ( 2 ^ P ) )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
103 negsubdi2 9360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) )
10473, 74, 103sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) )
105102, 104oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  / 
k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) ) )
10632, 46, 68div2negd 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )
10788, 105, 1063eqtr2d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
108 fzfid 11312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
0 ... ( ( P  /  k )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
109 elfznn0 11083 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( P  / 
k )  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
110 zexpcl 11396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ k ) ^ n
)  e.  ZZ )
11142, 109, 110syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ^ k
) ^ n )  e.  ZZ )
112108, 111fsumzcl 12529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  e.  ZZ )
113107, 112eqeltrrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
11446mulid2d 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )
115 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
116 elfzm11 11116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
117115, 1, 116sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
118117biimpa 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  2  <_ 
k  /\  k  <  P ) )
119118simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  k  <  P
)
120119adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  <  P )
1211ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
12254, 57, 121, 58ltexp2d 11552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  <  P  <->  ( 2 ^ k )  < 
( 2 ^ P
) ) )
123120, 122mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  <  ( 2 ^ P ) )
12462, 89, 49, 123ltsub1dd 9638 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
125114, 124eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
12631nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  RR )
127 ltmuldiv 9880 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
12849, 126, 45, 65, 127syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  x.  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
129125, 128mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
130 eluz2b1 10547 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) ) )
131113, 129, 130sylanbrc 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
132 nprm 13093 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13372, 131, 132syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13470, 133pm2.65da 560 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  ||  P )
135134ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
)
136 isprm3 13088 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
) )
13728, 135, 136sylanbrc 646 1  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   -ucneg 9292    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   ...cfz 11043   ^cexp 11382   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Primecprime 13079
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-prm 13080
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