MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mersenne Unicode version

Theorem mersenne 20461
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form  2 ^ P  - 
1. This theorem shows that the  P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem mersenne
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
2 2nn0 9978 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
32numexp1 13087 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
4 df-2 9800 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
53, 4eqtri 2305 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
6 prmuz2 12771 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluz2b2 10286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
98simprbi 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( ( 2 ^ P
)  -  1 ) )
107, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) )
11 1re 8833 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1211a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  RR )
13 2re 9811 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1413a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  e.  RR )
15 2ne0 9825 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
1615a1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  =/=  0 )
1714, 16, 1reexpclzd 11265 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ P
)  e.  RR )
1812, 12, 17ltaddsubd 9368 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ P )  <->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
1910, 18mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ P ) )
205, 19syl5eqbr 4058 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) )
21 1z 10049 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  ZZ )
23 1lt2 9882 . . . . . 6  |-  1  <  2
2423a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  2 )
2514, 22, 1, 24ltexp2d 11269 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  <  P  <->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) ) )
2620, 25mpbird 225 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  P )
27 eluz2b1 10285 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
281, 26, 27sylanbrc 647 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
29 simpllr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )
30 prmnn 12756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  NN )
3231nncnd 9758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  CC )
33 2nn 9873 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
34 elfzuz 10789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3534ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
36 eluz2b2 10286 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
3736simplbi 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
3835, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN )
3938nnnn0d 10014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN0 )
40 nnexpcl 11111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
4133, 39, 40sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
4241nnzd 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  ZZ )
43 peano2zm 10058 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4442, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4544zred 10113 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  RR )
4645recnd 8857 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  CC )
47 0re 8834 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4847a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  e.  RR )
4911a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  RR )
50 0lt1 9292 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
5150a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  1 )
5236simprbi 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  k )
5335, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  k )
5413a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  RR )
5521a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
56 elfzelz 10793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
5756ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ZZ )
5823a1i 12 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  2 )
5954, 55, 57, 58ltexp2d 11269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  <  k  <->  ( 2 ^ 1 )  < 
( 2 ^ k
) ) )
6053, 59mpbid 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ k ) )
615, 60syl5eqbrr 4059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  +  1 )  <  ( 2 ^ k ) )
6241nnred 9757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR )
6349, 49, 62ltaddsubd 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ k )  <->  1  <  ( ( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
6461, 63mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
6548, 49, 45, 51, 64lttrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
66 elnnz 10030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
6744, 65, 66sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN )
6867nnne0d 9786 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =/=  0 )
6932, 46, 68divcan2d 9534 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
7069, 29eqeltrd 2359 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  e.  Prime )
71 eluz2b2 10286 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
7267, 64, 71sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
7341nncnd 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
74 ax-1cn 8791 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
75 subeq0 9069 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  0  <-> 
( 2 ^ k
)  =  1 ) )
7673, 74, 75sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =  0  <->  (
2 ^ k )  =  1 ) )
7776necon3bid 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =/=  0  <->  (
2 ^ k )  =/=  1 ) )
7868, 77mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  =/=  1 )
79 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  ||  P )
80 eluz2b2 10286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8180simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
8228, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
8382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  NN )
84 nndivdvds 12532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8583, 38, 84syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8679, 85mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e.  NN )
8786nnnn0d 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e. 
NN0 )
8873, 78, 87geoser 12320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( 1  -  (
( 2 ^ k
) ^ ( P  /  k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) ) )
8917ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  RR )
9089recnd 8857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  CC )
91 negsubdi2 9102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P ) ) )
9290, 74, 91sylancl 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P
) ) )
9383nncnd 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  CC )
9438nncnd 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  CC )
9538nnne0d 9786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  =/=  0 )
9693, 94, 95divcan2d 9534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  x.  ( P  /  k ) )  =  P )
9796oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( 2 ^ P ) )
9854recnd 8857 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  CC )
9998, 87, 39expmuld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
10097, 99eqtr3d 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
101100oveq2d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  -  ( 2 ^ P ) )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
103 negsubdi2 9102 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) )
10473, 74, 103sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) )
105102, 104oveq12d 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  / 
k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) ) )
10632, 46, 68div2negd 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )
10788, 105, 1063eqtr2d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
108 fzfid 11030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
0 ... ( ( P  /  k )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
109 elfznn0 10817 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( P  / 
k )  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
110 zexpcl 11113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ k ) ^ n
)  e.  ZZ )
11142, 109, 110syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ^ k
) ^ n )  e.  ZZ )
112108, 111fsumzcl 12203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  e.  ZZ )
113107, 112eqeltrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
11446mulid2d 8849 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )
115 2z 10050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
116 elfzm11 10848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
117115, 1, 116sylancr 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
118117biimpa 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  2  <_ 
k  /\  k  <  P ) )
119118simp3d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  k  <  P
)
120119adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  <  P )
1211ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
12254, 57, 121, 58ltexp2d 11269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  <  P  <->  ( 2 ^ k )  < 
( 2 ^ P
) ) )
123120, 122mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  <  ( 2 ^ P ) )
12462, 89, 49, 123ltsub1dd 9380 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
125114, 124eqbrtrd 4045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
12631nnred 9757 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  RR )
127 ltmuldiv 9622 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
12849, 126, 45, 65, 127syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  x.  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
129125, 128mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
130 eluz2b1 10285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) ) )
131113, 129, 130sylanbrc 647 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
132 nprm 12767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13372, 131, 132syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13470, 133pm2.65da 561 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  ||  P )
135134ralrimiva 2628 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
)
136 isprm3 12762 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
) )
13728, 135, 136sylanbrc 647 1  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033   -ucneg 9034    / cdiv 9419   NNcn 9742   2c2 9791   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   ...cfz 10777   ^cexp 11099   sum_csu 12153    || cdivides 12526   Primecprime 12753
This theorem is referenced by:  perfect1  20462  perfect  20465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154  df-dvds 12527  df-prm 12754
  Copyright terms: Public domain W3C validator