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Theorem mersenne 20482
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form  2 ^ P  - 
1. This theorem shows that the  P in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ZZ )
2 2nn0 9998 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
32numexp1 13108 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
4 df-2 9820 . . . . . 6  |-  2  =  ( 1  +  1 )
53, 4eqtri 2316 . . . . 5  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
6 prmuz2 12792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8 eluz2b2 10306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
98simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  ( ( 2 ^ P
)  -  1 ) )
107, 9syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) )
11 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1211a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  RR )
13 2re 9831 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR
1413a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  e.  RR )
15 2ne0 9845 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
1615a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  2  =/=  0 )
1714, 16, 1reexpclzd 11286 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ P
)  e.  RR )
1812, 12, 17ltaddsubd 9388 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ P )  <->  1  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 ) ) )
1910, 18mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ P ) )
205, 19syl5eqbr 4072 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) )
21 1z 10069 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2221a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  e.  ZZ )
23 1lt2 9902 . . . . . 6  |-  1  <  2
2423a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  2 )
2514, 22, 1, 24ltexp2d 11290 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( 1  <  P  <->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ P ) ) )
2620, 25mpbird 223 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  1  <  P )
27 eluz2b1 10305 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  ZZ  /\  1  < 
P ) )
281, 26, 27sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
29 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )
30 prmnn 12777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime  ->  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  NN )
3129, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  NN )
3231nncnd 9778 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  CC )
33 2nn 9893 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN
34 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
3534ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
36 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( k  e.  NN  /\  1  < 
k ) )
3736simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  k  e.  NN )
3835, 37syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN )
3938nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  NN0 )
40 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  NN )
4133, 39, 40sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  NN )
4241nnzd 10132 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  ZZ )
43 peano2zm 10078 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ k )  e.  ZZ  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4442, 43syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ )
4544zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  RR )
4645recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  CC )
47 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  e.  RR )
4911a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  RR )
50 0lt1 9312 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  1
5150a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  1 )
5236simprbi 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  k )
5335, 52syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  k )
5413a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  RR )
5521a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  e.  ZZ )
56 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
5756ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  ZZ )
5823a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  2 )
5954, 55, 57, 58ltexp2d 11290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  <  k  <->  ( 2 ^ 1 )  < 
( 2 ^ k
) ) )
6053, 59mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ k ) )
615, 60syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  +  1 )  <  ( 2 ^ k ) )
6241nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  RR )
6349, 49, 62ltaddsubd 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ k )  <->  1  <  ( ( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
6461, 63mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
6548, 49, 45, 51, 64lttrd 8993 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )
66 elnnz 10050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
6744, 65, 66sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  NN )
6867nnne0d 9806 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =/=  0 )
6932, 46, 68divcan2d 9554 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
7069, 29eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  x.  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )  e.  Prime )
71 eluz2b2 10306 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  NN  /\  1  < 
( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
7267, 64, 71sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
7341nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  e.  CC )
74 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
75 subeq0 9089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  0  <-> 
( 2 ^ k
)  =  1 ) )
7673, 74, 75sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =  0  <->  (
2 ^ k )  =  1 ) )
7776necon3bid 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ k )  -  1 )  =/=  0  <->  (
2 ^ k )  =/=  1 ) )
7868, 77mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  =/=  1 )
79 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  ||  P )
80 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8180simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
8228, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
8382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  NN )
84 nndivdvds 12553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8583, 38, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  ||  P  <->  ( P  /  k )  e.  NN ) )
8679, 85mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e.  NN )
8786nnnn0d 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( P  /  k )  e. 
NN0 )
8873, 78, 87geoser 12341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( 1  -  (
( 2 ^ k
) ^ ( P  /  k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) ) )
8917ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  RR )
9089recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  e.  CC )
91 negsubdi2 9122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2 ^ P
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P ) ) )
9290, 74, 91sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ P
) ) )
9383nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  CC )
9438nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  e.  CC )
9538nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  =/=  0 )
9693, 94, 95divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  x.  ( P  /  k ) )  =  P )
9796oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( 2 ^ P ) )
9854recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  2  e.  CC )
9998, 87, 39expmuld 11264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ ( k  x.  ( P  / 
k ) ) )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
10097, 99eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ P )  =  ( ( 2 ^ k ) ^
( P  /  k
) ) )
101100oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  -  ( 2 ^ P ) )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
10292, 101eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ P
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  /  k ) ) ) )
103 negsubdi2 9122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k ) ) )
10473, 74, 103sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 )  =  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) )
105102, 104oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( 1  -  ( ( 2 ^ k ) ^ ( P  / 
k ) ) )  /  ( 1  -  ( 2 ^ k
) ) ) )
10632, 46, 68div2negd 9567 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  ( -u ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  -u (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) ) )
10788, 105, 1063eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  =  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )
108 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
0 ... ( ( P  /  k )  - 
1 ) )  e. 
Fin )
109 elfznn0 10838 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( ( P  / 
k )  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
110 zexpcl 11134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2 ^ k
)  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( ( 2 ^ k ) ^ n
)  e.  ZZ )
11142, 109, 110syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  /\  n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) )  ->  (
( 2 ^ k
) ^ n )  e.  ZZ )
112108, 111fsumzcl 12224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  sum_ n  e.  ( 0 ... (
( P  /  k
)  -  1 ) ) ( ( 2 ^ k ) ^
n )  e.  ZZ )
113107, 112eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ZZ )
11446mulid2d 8869 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )
115 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
116 elfzm11 10869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
117115, 1, 116sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  ( k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  <-> 
( k  e.  ZZ  /\  2  <_  k  /\  k  <  P ) ) )
118117biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  ( k  e.  ZZ  /\  2  <_ 
k  /\  k  <  P ) )
119118simp3d 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  k  <  P
)
120119adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  k  <  P )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  P  e.  ZZ )
12254, 57, 121, 58ltexp2d 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
k  <  P  <->  ( 2 ^ k )  < 
( 2 ^ P
) ) )
123120, 122mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
2 ^ k )  <  ( 2 ^ P ) )
12462, 89, 49, 123ltsub1dd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ k
)  -  1 )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
125114, 124eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 ) )
12631nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 2 ^ P
)  -  1 )  e.  RR )
127 ltmuldiv 9642 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  RR  /\  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  ->  ( (
1  x.  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
12849, 126, 45, 65, 127syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( 1  x.  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) )  <  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  <->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) ) )
129125, 128mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  1  <  ( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) )
130 eluz2b1 10305 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( ( ( 2 ^ P
)  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  1  < 
( ( ( 2 ^ P )  - 
1 )  /  (
( 2 ^ k
)  -  1 ) ) ) )
131113, 129, 130sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )
132 nprm 12788 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2 ^ k )  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13372, 131, 132syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e. 
Prime )  /\  k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) ) )  /\  k  ||  P )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ k )  - 
1 )  x.  (
( ( 2 ^ P )  -  1 )  /  ( ( 2 ^ k )  -  1 ) ) )  e.  Prime )
13470, 133pm2.65da 559 . . 3  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  /\  k  e.  (
2 ... ( P  - 
1 ) ) )  ->  -.  k  ||  P )
135134ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
)
136 isprm3 12783 . 2  |-  ( P  e.  Prime  <->  ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. k  e.  ( 2 ... ( P  -  1 ) )  -.  k  ||  P
) )
13728, 135, 136sylanbrc 645 1  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( 2 ^ P )  -  1 )  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  perfect1  20483  perfect  20486
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-prm 12775
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