MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met0 Unicode version

Theorem met0 17835
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
met0  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem met0
StepHypRef Expression
1 metxmet 17826 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmet0 17834 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
31, 2sylan 459 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   0cc0 8670   * Metcxmt 16296   Metcme 16297
This theorem is referenced by:  ovolctb  18776  mettrifi  25805  isbnd3  25840  rrnequiv  25891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-mulcl 8732  ax-i2m1 8738
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3769  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-id 4246  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-xadd 10385  df-xmet 16300  df-met 16301
  Copyright terms: Public domain W3C validator