MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  met0 Unicode version

Theorem met0 17903
Description: The distance function of a metric space is zero if its arguments are equal. Definition 14-1.1(a) of [Gleason] p. 223. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
met0  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )

Proof of Theorem met0
StepHypRef Expression
1 metxmet 17894 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
2 xmet0 17902 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  A  e.  X
)  ->  ( A D A )  =  0 )
31, 2sylan 459 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X )  ->  ( A D A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   0cc0 8733   * Metcxmt 16364   Metcme 16365
This theorem is referenced by:  ovolctb  18844  mettrifi  25873  isbnd3  25908  rrnequiv  25959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-mulcl 8795  ax-i2m1 8801
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-xadd 10449  df-xmet 16368  df-met 16369
  Copyright terms: Public domain W3C validator