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Theorem met2ndci 18505
Description: A separable metric space (a metric space with a countable dense subset) is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
methaus.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
met2ndci  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )

Proof of Theorem met2ndci
Dummy variables  n  r  t  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 methaus.1 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18423 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  Top )
4 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
5 simplr1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  A  C_  X )
6 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
75, 6sseldd 3309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  X )
8 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN )
98nnrpd 10603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR+ )
109rpreccld 10614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  RR+ )
1110rpxrd 10605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( 1  /  x
)  e.  RR* )
121blopn 18483 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( 1  /  x
)  e.  RR* )  ->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) )  e.  J )
134, 7, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) )  e.  J )
1413ralrimivva 2758 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A. x  e.  NN  A. y  e.  A  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  e.  J )
15 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )
1615fmpt2 6377 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN  A. y  e.  A  ( y
( ball `  D )
( 1  /  x
) )  e.  J  <->  ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J )
1714, 16sylib 189 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) --> J )
18 frn 5556 . . . 4  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J )
1917, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J )
20 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
21 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  u  e.  J )
22 simprr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  -> 
z  e.  u )
231mopni2 18476 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  u  e.  J  /\  z  e.  u
)  ->  E. r  e.  RR+  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
2420, 21, 22, 23syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  E. r  e.  RR+  (
z ( ball `  D
) r )  C_  u )
25 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  r  e.  RR+ )
2625rphalfcld 10616 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
27 elrp 10570 . . . . . . . 8  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  <->  ( ( r  /  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( r  /  2
) ) )
28 nnrecl 10175 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( r  /  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( r  / 
2 ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 ) )
2927, 28sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n )  <  (
r  /  2 ) )
3026, 29syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  E. n  e.  NN  ( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 ) )
313ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  J  e.  Top )
32 simpr1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A  C_  X )
3332ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  A  C_  X
)
341mopnuni 18424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
3534ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  X  =  U. J )
3633, 35sseqtrd 3344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  A  C_  U. J
)
37 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  u
)
38 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  u  e.  J
)
39 elunii 3980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  u  /\  u  e.  J )  ->  z  e.  U. J
)
4037, 38, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  U. J )
4140, 35eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  X
)
42 simpr3 965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( ( cls `  J
) `  A )  =  X )
4342ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X )
4441, 43eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  ( ( cls `  J
) `  A )
)
4520adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
46 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  n  e.  NN )
4746nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
4847rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
4948rpxrd 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR* )
501blopn 18483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR* )  ->  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  J )
5145, 41, 49, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  J
)
52 blcntr 18396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  z  e.  X  /\  ( 1  /  n
)  e.  RR+ )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
5345, 41, 48, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  z  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
54 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
5554clsndisj 17094 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  A  C_  U. J  /\  z  e.  ( ( cls `  J ) `  A ) )  /\  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  J  /\  z  e.  (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )  ->  ( (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  =/=  (/) )
5631, 36, 44, 51, 53, 55syl32anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  =/=  (/) )
57 n0 3597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A )  =/=  (/) 
<->  E. t  t  e.  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  i^i  A
) )
5856, 57sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  E. t  t  e.  ( ( z (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  i^i  A
) )
5946adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  n  e.  NN )
60 inss2 3522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  C_  A
61 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )
6260, 61sseldi 3306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  A
)
63 eqidd 2405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
64 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  (
1  /  x )  =  ( 1  /  n ) )
6564oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  n  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )
6665eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  (
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
67 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
y ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) )
6867eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
6966, 68rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  t  e.  A  /\  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )
7059, 62, 63, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  =  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )
71 ovex 6065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
_V
72 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
z  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) )  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )
73722rexbidv 2709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  ( E. x  e.  NN  E. y  e.  A  z  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )
7415rnmpt2 6139 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  =  { z  |  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  z  =  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) }
7571, 73, 74elab2 3045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  e. 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  <->  E. x  e.  NN  E. y  e.  A  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  =  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )
7670, 75sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) )
77 inss1 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  i^i 
A )  C_  (
z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )
7877, 61sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  ( z ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
7945adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
8049adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR* )
8141adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  X
)
8233adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  A  C_  X
)
8382, 62sseldd 3309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  t  e.  X
)
84 blcom 18377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( 1  /  n )  e. 
RR* )  /\  (
z  e.  X  /\  t  e.  X )
)  ->  ( t  e.  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  <-> 
z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
8579, 80, 81, 83, 84syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t  e.  ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  <-> 
z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) ) )
8678, 85mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) ) )
87 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  r  e.  RR+ )
8988rphalfcld 10616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
9089rpxrd 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR* )
91 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <  (
r  /  2 ) )
9287rphalfcld 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( r  / 
2 )  e.  RR+ )
93 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  /  n )  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
94 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( r  /  2 )  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR )
95 ltle 9119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
)  ->  ( 1  /  n )  <_ 
( r  /  2
) ) )
9693, 94, 95syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  /  n
)  e.  RR+  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  n
)  <  ( r  /  2 )  -> 
( 1  /  n
)  <_  ( r  /  2 ) ) )
9748, 92, 96syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
)  ->  ( 1  /  n )  <_ 
( r  /  2
) ) )
9891, 97mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
r  /  2 ) )
9998adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( 1  /  n )  <_  (
r  /  2 ) )
100 ssbl 18406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  t  e.  X )  /\  (
( 1  /  n
)  e.  RR*  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  /\  (
1  /  n )  <_  ( r  / 
2 ) )  -> 
( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) 
C_  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) ) )
10179, 83, 80, 90, 99, 100syl221anc 1195 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  (
t ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
10288rpred 10604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  r  e.  RR )
103101, 86sseldd 3309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  z  e.  ( t ( ball `  D
) ( r  / 
2 ) ) )
104 blhalf 18388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  t  e.  X )  /\  (
r  e.  RR  /\  z  e.  ( t
( ball `  D )
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) r ) )
10579, 83, 102, 103, 104syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  (
z ( ball `  D
) r ) )
106 simprlr 740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
107106adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)
108105, 107sstrd 3318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( r  /  2
) )  C_  u
)
109101, 108sstrd 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
)
110 eleq2 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) ) )
111 sseq1 3329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
w  C_  u  <->  ( t
( ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
) )
112110, 111anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  u )  <-> 
( z  e.  ( t ( ball `  D
) ( 1  /  n ) )  /\  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) ) 
C_  u ) ) )
113112rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  /\  ( z  e.  ( t ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  /\  ( t (
ball `  D )
( 1  /  n
) )  C_  u
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11476, 86, 109, 113syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  /\  t  e.  ( ( z ( ball `  D ) ( 1  /  n ) )  i^i  A ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11558, 114exlimddv 1645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( ( r  e.  RR+  /\  ( z (
ball `  D )
r )  C_  u
)  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
116115anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  ( 1  /  n )  < 
( r  /  2
) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11730, 116rexlimddv 2794 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( z ( ball `  D ) r ) 
C_  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
11824, 117rexlimddv 2794 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  A
)  =  X ) )  /\  ( u  e.  J  /\  z  e.  u ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
119118ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A. u  e.  J  A. z  e.  u  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )
120 basgen2 17009 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  C_  J  /\  A. u  e.  J  A. z  e.  u  E. w  e.  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  u ) )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  =  J )
1213, 19, 119, 120syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  =  J )
122121, 3eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  e.  Top )
123 tgclb 16990 . . . 4  |-  ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  e.  Top )
124122, 123sylibr 204 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  e.  TopBases )
125 omelon 7557 . . . . . 6  |-  om  e.  On
126 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  A  ~<_  om )
127 nnex 9962 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
128127xpdom2 7162 . . . . . . . 8  |-  ( A  ~<_  om  ->  ( NN  X.  A )  ~<_  ( NN 
X.  om ) )
129126, 128syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  ~<_  ( NN  X.  om ) )
130 nnenom 11274 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
131 omex 7554 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
132131enref 7099 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  om
133 xpen 7229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN  ~~  om  /\  om 
~~  om )  ->  ( NN  X.  om )  ~~  ( om  X.  om )
)
134130, 132, 133mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  om )  ~~  ( om  X.  om )
135 xpomen 7853 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  om )  ~~  om
136134, 135entri 7120 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  om )  ~~  om
137 domentr 7125 . . . . . . 7  |-  ( ( ( NN  X.  A
)  ~<_  ( NN  X.  om )  /\  ( NN  X.  om )  ~~  om )  ->  ( NN  X.  A )  ~<_  om )
138129, 136, 137sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  ~<_  om )
139 ondomen 7874 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( NN  X.  A
)  ~<_  om )  ->  ( NN  X.  A )  e. 
dom  card )
140125, 138, 139sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( NN  X.  A
)  e.  dom  card )
141 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN  X.  A ) --> J  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN 
X.  A ) )
14217, 141syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN 
X.  A ) )
143 dffn4 5618 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  NN , 
y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  Fn  ( NN  X.  A )  <->  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) : ( NN  X.  A
) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )
144142, 143sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) )
145 fodomnum 7894 . . . . 5  |-  ( ( NN  X.  A )  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) ) : ( NN 
X.  A ) -onto-> ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  ( NN  X.  A
) ) )
146140, 144, 145sylc 58 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  ( NN  X.  A ) )
147 domtr 7119 . . . 4  |-  ( ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  ( NN  X.  A )  /\  ( NN  X.  A )  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  om )
148146, 138, 147syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D ) ( 1  /  x ) ) )  ~<_  om )
149 2ndci 17464 . . 3  |-  ( ( ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y (
ball `  D )
( 1  /  x
) ) ) )  e.  2ndc )
150124, 148, 149syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  NN ,  y  e.  A  |->  ( y ( ball `  D
) ( 1  /  x ) ) ) )  e.  2ndc )
151121, 150eqeltrrd 2479 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ( A  C_  X  /\  A  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J
) `  A )  =  X ) )  ->  J  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   cardccrd 7778   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   RR*cxr 9075    < clt 9076    <_ cle 9077    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   RR+crp 10568   topGenctg 13620   * Metcxmt 16641   ballcbl 16643   MetOpencmopn 16646   Topctop 16913   TopBasesctb 16917   clsccl 17037   2ndcc2ndc 17454
This theorem is referenced by:  met2ndc  18506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-2ndc 17456
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