Theorem metcl 7808

Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metcl	|- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)

Proof of Theorem metcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4041	. 2 |- ((D:(X X. X)-->RR /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)
2		metf.1	. . 3 |- X = dom dom D
3	2	metf 7804	. 2 |- (D e. Met -> D:(X X. X)-->RR)
4	1, 3	syl3an1 861	1 |- ((D e. Met /\ A e. X /\ B e. X) -> (ADB) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   X. cxp 3174  dom cdm 3176  -->wf 3184  (class class class)co 3969  RRcr 5245  Metcme 7786

This theorem is referenced by:  metsym 7813  metge0 7816  metgt0 7817  metxplem1 7823  metxplem2 7824  metxplem3 7825  metxp 7831  bl2in 7840  blin 7849  blss 7850  ssbl 7852  methausi 7878  metcnpi3 7889  metcnpi4 7890  metcni2 7892  lmnn 7932  iscau3 7935  iscau4 7937  lmuni 7948  lmle 7957  xplmi 7970  xpcn 7973  lmcau 7993  bcthlem20 8015  bcthlem21 8016  bcthlem24 8019  bcthlem25 8020  blocni 8461

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-met 7790

Copyright terms: Public domain