MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Unicode version

Theorem metcl 17897
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 17895 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 5990 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1215 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1684    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   Metcme 16370
This theorem is referenced by:  mettri2  17906  metrtri  17921  prdsmet  17934  imasf1omet  17940  blpnf  17954  bl2in  17957  mscl  18007  metss2lem  18057  methaus  18066  nmf2  18115  metdsre  18357  iscmet3lem1  18717  minveclem2  18790  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4  18796  minveclem7  18799  dvlog2lem  19999  vacn  21267  nmcvcn  21268  smcnlem  21270  blocni  21383  minvecolem2  21454  minvecolem3  21455  minvecolem4  21459  minvecolem7  21462  metf1o  26469  mettrifi  26473  lmclim2  26474  geomcau  26475  isbnd3  26508  isbnd3b  26509  ssbnd  26512  totbndbnd  26513  equivbnd  26514  prdsbnd  26517  heibor1lem  26533  heiborlem6  26540  bfplem1  26546  bfplem2  26547  bfp  26548  rrncmslem  26556  rrnequiv  26559  rrntotbnd  26560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-met 16374
  Copyright terms: Public domain W3C validator