MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Unicode version

Theorem metcl 18315
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 18313 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 6175 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1217 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1721    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   Metcme 16642
This theorem is referenced by:  mettri2  18324  metrtri  18340  prdsmet  18353  imasf1omet  18359  blpnf  18380  bl2in  18383  mscl  18444  metss2lem  18494  methaus  18503  nmf2  18593  metdsre  18836  iscmet3lem1  19197  minveclem2  19280  minveclem3b  19282  minveclem3  19283  minveclem4  19286  minveclem7  19289  dvlog2lem  20496  vacn  22143  nmcvcn  22144  smcnlem  22146  blocni  22259  minvecolem2  22330  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  minvecolem7  22338  metf1o  26351  mettrifi  26353  lmclim2  26354  geomcau  26355  isbnd3  26383  isbnd3b  26384  ssbnd  26387  totbndbnd  26388  equivbnd  26389  prdsbnd  26392  heibor1lem  26408  heiborlem6  26415  bfplem1  26421  bfplem2  26422  bfp  26423  rrncmslem  26431  rrnequiv  26434  rrntotbnd  26435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-met 16651
  Copyright terms: Public domain W3C validator