MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Unicode version

Theorem metcl 17729
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 17727 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 5842 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621    X. cxp 4578   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   RRcr 8616   Metcme 16202
This theorem is referenced by:  mettri2  17738  metrtri  17753  prdsmet  17766  imasf1omet  17772  blpnf  17786  bl2in  17789  mscl  17839  metss2lem  17889  methaus  17898  nmf2  17947  metdsre  18189  iscmet3lem1  18549  minveclem2  18622  minveclem3b  18624  minveclem3  18625  minveclem4  18628  minveclem7  18631  dvlog2lem  19831  vacn  21097  nmcvcn  21098  smcnlem  21100  blocni  21213  minvecolem2  21284  minvecolem3  21285  minvecolem4  21289  minvecolem7  21292  metf1o  25635  mettrifi  25639  lmclim2  25640  geomcau  25641  isbnd3  25674  isbnd3b  25675  ssbnd  25678  totbndbnd  25679  equivbnd  25680  prdsbnd  25683  heibor1lem  25699  heiborlem6  25706  bfplem1  25712  bfplem2  25713  bfp  25714  rrncmslem  25722  rrnequiv  25725  rrntotbnd  25726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-map 6660  df-met 16206
  Copyright terms: Public domain W3C validator