MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Unicode version

Theorem metcl 17845
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 17843 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 5910 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1220 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    e. wcel 1621    X. cxp 4645   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   Metcme 16318
This theorem is referenced by:  mettri2  17854  metrtri  17869  prdsmet  17882  imasf1omet  17888  blpnf  17902  bl2in  17905  mscl  17955  metss2lem  18005  methaus  18014  nmf2  18063  metdsre  18305  iscmet3lem1  18665  minveclem2  18738  minveclem3b  18740  minveclem3  18741  minveclem4  18744  minveclem7  18747  dvlog2lem  19947  vacn  21213  nmcvcn  21214  smcnlem  21216  blocni  21329  minvecolem2  21400  minvecolem3  21401  minvecolem4  21405  minvecolem7  21408  metf1o  25822  mettrifi  25826  lmclim2  25827  geomcau  25828  isbnd3  25861  isbnd3b  25862  ssbnd  25865  totbndbnd  25866  equivbnd  25867  prdsbnd  25870  heibor1lem  25886  heiborlem6  25893  bfplem1  25899  bfplem2  25900  bfp  25901  rrncmslem  25909  rrnequiv  25912  rrntotbnd  25913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-map 6728  df-met 16322
  Copyright terms: Public domain W3C validator