MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Structured version   Unicode version

Theorem metcl 18352
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 18350 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 6208 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1217 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    e. wcel 1725    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   RRcr 8979   Metcme 16677
This theorem is referenced by:  mettri2  18361  metrtri  18377  prdsmet  18390  imasf1omet  18396  blpnf  18417  bl2in  18420  mscl  18481  metss2lem  18531  methaus  18540  nmf2  18630  metdsre  18873  iscmet3lem1  19234  minveclem2  19317  minveclem3b  19319  minveclem3  19320  minveclem4  19323  minveclem7  19326  dvlog2lem  20533  vacn  22180  nmcvcn  22181  smcnlem  22183  blocni  22296  minvecolem2  22367  minvecolem3  22368  minvecolem4  22372  minvecolem7  22375  metf1o  26415  mettrifi  26417  lmclim2  26418  geomcau  26419  isbnd3  26447  isbnd3b  26448  ssbnd  26451  totbndbnd  26452  equivbnd  26453  prdsbnd  26456  heibor1lem  26472  heiborlem6  26479  bfplem1  26485  bfplem2  26486  bfp  26487  rrncmslem  26495  rrnequiv  26498  rrntotbnd  26499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-met 16686
  Copyright terms: Public domain W3C validator