MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcl Unicode version

Theorem metcl 17999
Description: Closure of the distance function of a metric space. Part of Property M1 of [Kreyszig] p. 3. (Contributed by NM, 30-Aug-2006.)
Assertion
Ref Expression
metcl  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )

Proof of Theorem metcl
StepHypRef Expression
1 metf 17997 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D :
( X  X.  X
) --> RR )
2 fovrn 6077 . 2  |-  ( ( D : ( X  X.  X ) --> RR 
/\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  ->  ( A D B )  e.  RR )
31, 2syl3an1 1215 1  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A D B )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1710    X. cxp 4769   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   RRcr 8826   Metcme 16469
This theorem is referenced by:  mettri2  18008  metrtri  18023  prdsmet  18036  imasf1omet  18042  blpnf  18056  bl2in  18059  mscl  18109  metss2lem  18159  methaus  18168  nmf2  18217  metdsre  18460  iscmet3lem1  18821  minveclem2  18894  minveclem3b  18896  minveclem3  18897  minveclem4  18900  minveclem7  18903  dvlog2lem  20110  vacn  21381  nmcvcn  21382  smcnlem  21384  blocni  21497  minvecolem2  21568  minvecolem3  21569  minvecolem4  21573  minvecolem7  21576  metf1o  25793  mettrifi  25797  lmclim2  25798  geomcau  25799  isbnd3  25831  isbnd3b  25832  ssbnd  25835  totbndbnd  25836  equivbnd  25837  prdsbnd  25840  heibor1lem  25856  heiborlem6  25863  bfplem1  25869  bfplem2  25870  bfp  25871  rrncmslem  25879  rrnequiv  25882  rrntotbnd  25883
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-map 6862  df-met 16476
  Copyright terms: Public domain W3C validator