Theorem metcld 7901

Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30.

Hypotheses

Ref	Expression
metcls.1	|- X = dom dom D
metcls.2	|- J = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcld	|- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))

Distinct variable groups:   x,f,D   f,J,x   f,M,x   f,X,x

Proof of Theorem metcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . . 4 |- U.J = U.J
2	1	iscld4 7638	. . 3 |- ((J e. Top /\ M (_ U.J) -> (M e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` M) (_ M))
3		metcls.2	. . . . 5 |- J = (Open` D)
4	3	opntop 7810	. . . 4 |- (D e. Met -> J e. Top)
5	4	adantr 389	. . 3 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> J e. Top)
6		metcls.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
7	6, 3	uniopn 7801	. . . . 5 |- (D e. Met -> U.J = X)
8	7	sseq2d 2079	. . . 4 |- (D e. Met -> (M (_ U.J <-> M (_ X))
9	8	biimpar 417	. . 3 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> M (_ U.J)
10	2, 5, 9	sylanc 471	. 2 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> ((cls` J)` M) (_ M))
11		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
12	6, 3, 11	metelcls 7900	. . . . . 6 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (x e. ((cls` J)` M) <-> E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x)))
13	12	imbi1d 611	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> ((x e. ((cls` J)` M) -> x e. M) <-> (E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))
14		19.23v 1288	. . . . 5 |- (A.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> (E.f(f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M))
15	13, 14	syl6rbbr 537	. . . 4 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (A.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> (x e. ((cls` J)` M) -> x e. M)))
16	15	albidv 1273	. . 3 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> A.x(x e. ((cls` J)` M) -> x e. M)))
17		dfss2 2048	. . 3 |- (((cls` J)` M) (_ M <-> A.x(x e. ((cls` J)` M) -> x e. M))
18	16, 17	syl6bbr 536	. 2 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M) <-> ((cls` J)` M) (_ M))
19	10, 18	bitr4d 529	1 |- ((D e. Met /\ M (_ X) -> (M e. (Clsd` J) <-> A.xA.f((f:NN-->M /\ f(~~>m` D)x) -> x e. M)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   (_ wss 2037  U.cuni 2493   class class class wbr 2609  dom cdm 3160  -->wf 3168  ` cfv 3172  NNcn 5268  Topctop 7530  Clsdccld 7602  clsccl 7604  Metcme 7728  Opencopn 7731  ~~>mclm 7857

This theorem is referenced by:  ubthlem4 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-uz 6350  df-top 7534  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-nei 7654  df-lp 7682  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860

Copyright terms: Public domain