MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Unicode version

Theorem metcld 18731
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Distinct variable groups:    x, f, D    f, J, x    S, f, x    f, X, x

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 17986 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 451 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
41mopnuni 17987 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54sseq2d 3206 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( S  C_  X  <->  S  C_  U. J
) )
65biimpa 470 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  U. J
)
7 eqid 2283 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87iscld4 16802 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
93, 6, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
10 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
11 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  X
)
121, 10, 11metelcls 18730 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
1312imbi1d 308 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  ->  x  e.  S )  <->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) ) )
14 19.23v 1832 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
1513, 14syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  ->  x  e.  S ) ) )
1615albidv 1611 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) ) )
17 dfss2 3169 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) )
1816, 17syl6bbr 254 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
199, 18bitr4d 247 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   -->wf 5251   ` cfv 5255   NNcn 9746   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372   Topctop 16631   Clsdccld 16753   clsccl 16755   ~~> tclm 16956
This theorem is referenced by:  metcld2  18732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-fz 10783  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lm 16959  df-1stc 17165
  Copyright terms: Public domain W3C validator