MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld Unicode version

Theorem metcld 19215
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by NM, 11-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Distinct variable groups:    x, f, D    f, J, x    S, f, x    f, X, x

Proof of Theorem metcld
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopntop 18427 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  J  e.  Top )
41mopnuni 18428 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
54sseq2d 3340 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( S  C_  X  <->  S  C_  U. J
) )
65biimpa 471 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  U. J
)
7 eqid 2408 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
87iscld4 17088 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
93, 6, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
10 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
11 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  C_  X
)
121, 10, 11metelcls 19214 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
1312imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
x  e.  ( ( cls `  J ) `
 S )  ->  x  e.  S )  <->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) ) )
14 19.23v 1910 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
1513, 14syl6rbbr 256 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  ->  x  e.  S ) ) )
1615albidv 1632 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) ) )
17 dfss2 3301 . . 3  |-  ( ( ( cls `  J
) `  S )  C_  S  <->  A. x ( x  e.  ( ( cls `  J ) `  S
)  ->  x  e.  S ) )
1816, 17syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( cls `  J ) `  S
)  C_  S )
)
199, 18bitr4d 248 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    C_ wss 3284   U.cuni 3979   class class class wbr 4176   -->wf 5413   ` cfv 5417   NNcn 9960   * Metcxmt 16645   MetOpencmopn 16650   Topctop 16917   Clsdccld 17039   clsccl 17041   ~~> tclm 17248
This theorem is referenced by:  metcld2  19216
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cc 8275  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-card 7786  df-acn 7789  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-fz 11004  df-topgen 13626  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-lm 17251  df-1stc 17459
  Copyright terms: Public domain W3C validator