MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcld2 Unicode version

Theorem metcld2 19247
Description: A subset of a metric space is closed iff every convergent sequence on it converges to a point in the subset. Theorem 1.4-6(b) of [Kreyszig] p. 30. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
metcld.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcld2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )

Proof of Theorem metcld2
Dummy variables  x  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcld.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21metcld 19246 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  A. x A. f
( ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )
) )
3 19.23v 1914 . . . . 5  |-  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( E. f
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
) )
4 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54elima2 5200 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  <->  E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) )
6 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S 
C_  X  ->  S  C_  X )
7 elfvdm 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
8 ssexg 4341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  S  e.  _V )
96, 7, 8syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  S  e.  _V )
10 nnex 9995 . . . . . . . . . 10  |-  NN  e.  _V
11 elmapg 7022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  _V  /\  NN  e.  _V )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  NN )  <-> 
f : NN --> S ) )
129, 10, 11sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( f  e.  ( S  ^m  NN ) 
<->  f : NN --> S ) )
1312anbi1d 686 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( (
f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <-> 
( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x ) ) )
1413exbidv 1636 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f  e.  ( S  ^m  NN )  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x ) ) )
155, 14syl5rbb 250 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  <->  x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) ) )
1615imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( ( E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) x )  ->  x  e.  S )  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J )
" ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S ) ) )
173, 16syl5bb 249 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
1817albidv 1635 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  A. x ( x  e.  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) ) )
19 dfss2 3329 . . 3  |-  ( ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S  <->  A. x
( x  e.  ( ( ~~> t `  J
) " ( S  ^m  NN ) )  ->  x  e.  S
) )
2018, 19syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( A. x A. f ( ( f : NN --> S  /\  f ( ~~> t `  J ) x )  ->  x  e.  S
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
212, 20bitrd 245 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  S  C_  X
)  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( ( ~~> t `  J ) " ( S  ^m  NN ) ) 
C_  S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   dom cdm 4869   "cima 4872   -->wf 5441   ` cfv 5445  (class class class)co 6072    ^m cmap 7009   NNcn 9989   * Metcxmt 16674   MetOpencmopn 16679   Clsdccld 17068   ~~> tclm 17278
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-card 7815  df-acn 7818  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-fz 11033  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-lm 17281  df-1stc 17490
  Copyright terms: Public domain W3C validator