MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Unicode version

Theorem metcn 18191
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon"  y there is a positive "delta"  z such that a distance less than delta in  C maps to a distance less than epsilon in  D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcn  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, J, x, y, z    w, K, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, C, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 18087 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 18087 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cncnp 17115 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 463 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
71, 3metcnp 18189 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
873expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
98adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
10 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1110biantrurd 494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
129, 11bitr4d 247 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1312ralbidva 2635 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1413pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
156, 14bitrd 244 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   E.wrex 2620   class class class wbr 4104   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    < clt 8957   RR+crp 10446   * Metcxmt 16468   MetOpencmopn 16473  TopOnctopon 16738    Cn ccn 17060    CnP ccnp 17061
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18304  nghmcn  18356  metdscn  18463  divcn  18475  cncfmet  18515  nmcvcn  21382  blocni  21497  hhcno  22598  hhcnf  22599  fmcncfil  23473
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-xneg 10544  df-xadd 10545  df-xmul 10546  df-topgen 13443  df-xmet 16475  df-bl 16477  df-mopn 16478  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-cn 17063  df-cnp 17064
  Copyright terms: Public domain W3C validator