MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Unicode version

Theorem metcn 18016
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon"  y there is a positive "delta"  z such that a distance less than delta in  C maps to a distance less than epsilon in  D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcn  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, J, x, y, z    w, K, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, C, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 17912 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 17912 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cncnp 16936 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 465 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
71, 3metcnp 18014 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
873expa 1156 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
98adantlr 698 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
10 simplr 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1110biantrurd 496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
129, 11bitr4d 249 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1312ralbidva 2530 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1413pm5.32da 625 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
156, 14bitrd 246 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E.wrex 2517   class class class wbr 3963   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    < clt 8800   RR+crp 10286   * Metcxmt 16296   MetOpencmopn 16299  TopOnctopon 16559    Cn ccn 16881    CnP ccnp 16882
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18129  nghmcn  18181  metdscn  18287  divcn  18299  cncfmet  18339  nmcvcn  21193  blocni  21308  hhcno  22409  hhcnf  22410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-topgen 13271  df-xmet 16300  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-cn 16884  df-cnp 16885
  Copyright terms: Public domain W3C validator