MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn Structured version   Unicode version

Theorem metcn 18573
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.1 of [Munkres] p. 127. The second biconditional argument says that for every positive "epsilon"  y there is a positive "delta"  z such that a distance less than delta in  C maps to a distance less than epsilon in  D. (Contributed by NM, 15-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcn  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, F    w, J, x, y, z    w, K, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, C, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem metcn
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 18469 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3 metcn.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
43mopntopon 18469 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
5 cncnp 17344 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
62, 4, 5syl2an 464 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
71, 3metcnp 18571 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
873expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
98adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
10 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  F : X --> Y )
1110biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
129, 11bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1312ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) )
1413pm5.32da 623 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  x )
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  <  z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  <  y ) ) ) )
156, 14bitrd 245 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  X  ( ( x C w )  < 
z  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  w ) )  < 
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4212   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    < clt 9120   RR+crp 10612   * Metcxmt 16686   MetOpencmopn 16691  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288    CnP ccnp 17289
This theorem is referenced by:  nrginvrcn  18727  nghmcn  18779  metdscn  18886  divcn  18898  cncfmet  18938  nmcvcn  22191  blocni  22306  hhcno  23407  hhcnf  23408  fmcncfil  24317
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-topgen 13667  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cn 17291  df-cnp 17292
  Copyright terms: Public domain W3C validator