Theorem metcn4 7921

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128.

Hypotheses

Ref	Expression
metcnp4.1	|- X = dom dom C
metcnp4.3	|- Y = dom dom D
metcnp4.c	|- J = (Open` C)
metcnp4.d	|- K = (Open` D)
metcnp4.5	|- G = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (f` j)))}

Assertion

Ref	Expression
metcn4	|- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))

Distinct variable groups:   x,f,C   D,f,x   f,j,y,F,x   x,G   x,J   x,K   f,X,j,x   f,Y,j,x,y

Proof of Theorem metcn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. . . . 5 |- U.J = U.J
2		eqid 1473	. . . . 5 |- U.K = U.K
3	1, 2	cncnp 7728	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:U.J-->U.K) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. U.JF e. ((J CnP K)` x)))
4		metcnp4.c	. . . . . 6 |- J = (Open` C)
5	4	opntop 7822	. . . . 5 |- (C e. Met -> J e. Top)
6	5	ad2antrr 404	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> J e. Top)
7		metcnp4.d	. . . . . 6 |- K = (Open` D)
8	7	opntop 7822	. . . . 5 |- (D e. Met -> K e. Top)
9	8	ad2antlr 405	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> K e. Top)
10		metcnp4.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
11	10, 4	uniopn 7813	. . . . . . 7 |- (C e. Met -> U.J = X)
12		feq2 3613	. . . . . . 7 |- (U.J = X -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->U.K))
13	11, 12	syl 10	. . . . . 6 |- (C e. Met -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->U.K))
14		metcnp4.3	. . . . . . . 8 |- Y = dom dom D
15	14, 7	uniopn 7813	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> U.K = Y)
16		feq3 3614	. . . . . . 7 |- (U.K = Y -> (F:X-->U.K <-> F:X-->Y))
17	15, 16	syl 10	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (F:X-->U.K <-> F:X-->Y))
18	13, 17	sylan9bb 539	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->Y))
19	18	biimpar 417	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> F:U.J-->U.K)
20	3, 6, 9, 19	syl3anc 857	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. U.JF e. ((J CnP K)` x)))
21	11	raleq1d 1786	. . . 4 |- (C e. Met -> (A.x e. U.JF e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
22	21	ad2antrr 404	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> (A.x e. U.JF e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
23		metcnp4.5	. . . . . . . . 9 |- G = {<.j, y>. | (j e. NN /\ y = (F` (f` j)))}
24	10, 14, 4, 7, 23	metcnp4 7920	. . . . . . . 8 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)))))
25	24	3expa 832	. . . . . . 7 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)))))
26	25	adantlr 393	. . . . . 6 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> (F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)))))
27		ibar 642	. . . . . . . 8 |- (F:X-->Y -> (A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)) <-> (F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)))))
28	27	ad2antlr 405	. . . . . . 7 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) /\ x e. X) -> (A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)) <-> (F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)))))
29		impexp 347	. . . . . . . 8 |- (((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)) <-> (f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
30	29	albii 997	. . . . . . 7 |- (A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x)) <-> A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
31	28, 30	syl5rbbr 534	. . . . . 6 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) /\ x e. X) -> ((F:X-->Y /\ A.f((f:NN-->X /\ f(~~>m` C)x) -> G(~~>m` D)(F` x))) <-> A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))
32	26, 31	bitrd 527	. . . . 5 |- ((((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))
33	32	ralbidva 1656	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))
34		ralcom4 1819	. . . . 5 |- (A.x e. X A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))) <-> A.fA.x e. X (f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
35		r19.21v 1713	. . . . . 6 |- (A.x e. X (f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))) <-> (f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
36	35	albii 997	. . . . 5 |- (A.fA.x e. X (f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
37	34, 36	bitr 173	. . . 4 |- (A.x e. X A.f(f:NN-->X -> (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x))))
38	33, 37	syl6bb 535	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))
39	20, 22, 38	3bitrd 543	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met) /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))
40	39	3impa 827	1 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.f(f:NN-->X -> A.x e. X (f(~~>m` C)x -> G(~~>m` D)(F` x)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  U.cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661  dom cdm 3165  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  NNcn 5276  Topctop 7538   Cn ccn 7702   CnP ccnp 7703  Metcme 7739  Opencopn 7742  ~~>mclm 7871

This theorem is referenced by:  metcn4i 7922  bopcn 7935  sqcn 8283

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192