MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn4 Unicode version

Theorem metcn4 19134
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128. (Contributed by NM, 13-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcnp4.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
metcnp4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
metcnp4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
metcn4.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
metcn4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, C    D, f, x    f, F, x    f, J, x    ph, f, x    f, X, x    f, Y, x   
f, K, x

Proof of Theorem metcn4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
2 metcnp4.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32met1stc 18441 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
52mopntopon 18359 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
61, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 metcnp4.6 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
8 metcnp4.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 18359 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
107, 9syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
11 metcn4.7 . 2  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
124, 6, 10, 111stccn 17447 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1546    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153    o. ccom 4822   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   NNcn 9932   * Metcxmt 16612   MetOpencmopn 16617  TopOnctopon 16882    Cn ccn 17210   ~~> tclm 17212   1stcc1stc 17421
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cc 8248  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-card 7759  df-acn 7762  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-fz 10976  df-topgen 13594  df-xmet 16619  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-lm 17215  df-1stc 17423
  Copyright terms: Public domain W3C validator