MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcn4 Unicode version

Theorem metcn4 18738
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous. Theorem 10.3 of [Munkres] p. 128. (Contributed by NM, 13-Jun-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcnp4.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
metcnp4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
metcnp4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
metcn4.7  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
Assertion
Ref Expression
metcn4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, C    D, f, x    f, F, x    f, J, x    ph, f, x    f, X, x    f, Y, x   
f, K, x

Proof of Theorem metcn4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
2 metcnp4.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32met1stc 18069 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
52mopntopon 17987 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
61, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 metcnp4.6 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
8 metcnp4.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 17987 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
107, 9syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
11 metcn4.7 . 2  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
124, 6, 10, 111stccn 17191 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  A. f ( f : NN --> X  ->  A. x
( f ( ~~> t `  J ) x  -> 
( F  o.  f
) ( ~~> t `  K ) ( F `
 x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176   A.wal 1529    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025    o. ccom 4695   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   NNcn 9748   * Metcxmt 16371   MetOpencmopn 16374  TopOnctopon 16634    Cn ccn 16956   ~~> tclm 16958   1stcc1stc 17165
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cc 8063  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-sup 7196  df-card 7574  df-acn 7577  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-fz 10785  df-topgen 13346  df-xmet 16375  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-lm 16961  df-1stc 17167
  Copyright terms: Public domain W3C validator