Theorem metcni 7891

Description: Epsilon-delta property of a continuous metric space function.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcni	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Distinct variable groups:   x,y,F   x,C,y   x,D,y   x,X,y   x,Y,y   x,P,y   x,J,y   x,K,y   x,A,y

Proof of Theorem metcni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3974	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> (zCy) = (PCy))
2	1	breq1d 2634	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> ((zCy) < x <-> (PCy) < x))
3		fveq2 3730	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = P -> (F` z) = (F` P))
4	3	opreq1d 3981	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = P -> ((F` z)D(F` y)) = ((F` P)D(F` y)))
5	4	breq1d 2634	. . . . . . . . . . 11 |- (z = P -> (((F` z)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < w))
6	2, 5	imbi12d 628	. . . . . . . . . 10 |- (z = P -> (((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
7	6	ralbidv 1666	. . . . . . . . 9 |- (z = P -> (A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))
8	7	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (z = P -> ((0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
9	8	rexbidv 1667	. . . . . . 7 |- (z = P -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))))
10	9	imbi2d 614	. . . . . 6 |- (z = P -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) <-> (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)))))
11		breq2 2628	. . . . . . 7 |- (w = A -> (0 < w <-> 0 < A))
12		breq2 2628	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> (((F` P)D(F` y)) < w <-> ((F` P)D(F` y)) < A))
13	12	imbi2d 614	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> (((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
14	13	ralbidv 1666	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> (A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w) <-> A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))
15	14	anbi2d 618	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
16	15	rexbidv 1667	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w)) <-> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
17	11, 16	imbi12d 628	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < w))) <-> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
18	10, 17	rcla42v 1883	. . . . 5 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
19		metcn.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
20		metcn.2	. . . . . . . 8 |- J = (Open` C)
21		metcn.3	. . . . . . . 8 |- Y = dom dom D
22		metcn.4	. . . . . . . 8 |- K = (Open` D)
23	19, 20, 21, 22	metcn 7886	. . . . . . 7 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) <-> (F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))))
24		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((F:X-->Y /\ A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
25	23, 24	syl6bi 214	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F e. (J Cn K) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w)))))
26	25	3impia 832	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> A.z e. X A.w e. RR (0 < w -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((zCy) < x -> ((F` z)D(F` y)) < w))))
27	18, 26	syl5 21	. . . 4 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (0 < A -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
28	27	com23 32	. . 3 |- ((P e. X /\ A e. RR) -> (0 < A -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))))
29	28	3impia 832	. 2 |- ((P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A) -> ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A))))
30	29	impcom 351	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. X /\ A e. RR /\ 0 < A)) -> E.x e. RR (0 < x /\ A.y e. X ((PCy) < x -> ((F` P)D(F` y)) < A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  A.wral 1648  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245  0cc0 5246   < clt 5498   Cn ccn 7749  Metcme 7786  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  metcni2 7892  xpcn 7973  nvcni 8325

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp