Theorem metcnp2 7888

Description: Two ways to say a mapping from metric C to metric D is continuous at point P. The distance arguments are swapped compared to metcnp 7887 (and Munkres' metcn 7889) for compatibility with df-lm 7922. Definition 1.3-3 of [Kreyszig] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
metcn.1	|- X = dom dom C
metcn.2	|- J = (Open` C)
metcn.3	|- Y = dom dom D
metcn.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcnp2	|- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y))))))

Distinct variable groups:   y,w,z,F   w,C,y,z   w,D,y,z   w,X,y,z   w,Y,y,z   w,P,y,z   w,J,y,z   y,K

Proof of Theorem metcnp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metcn.1	. . 3 |- X = dom dom C
2		metcn.2	. . 3 |- J = (Open` C)
3		metcn.3	. . 3 |- Y = dom dom D
4		metcn.4	. . 3 |- K = (Open` D)
5	1, 2, 3, 4	metcnp 7887	. 2 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))))))
6	1	metsym 7816	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((C e. Met /\ P e. X /\ w e. X) -> (PCw) = (wCP))
7	6	3expa 833	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ P e. X) /\ w e. X) -> (PCw) = (wCP))
8	7	breq1d 2629	. . . . . . . . . . 11 |- (((C e. Met /\ P e. X) /\ w e. X) -> ((PCw) < z <-> (wCP) < z))
9	8	3adantl2 804	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ w e. X) -> ((PCw) < z <-> (wCP) < z))
10	9	adantlr 393	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> ((PCw) < z <-> (wCP) < z))
11	3	metsym 7816	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. Met /\ (F` P) e. Y /\ (F` w) e. Y) -> ((F` P)D(F` w)) = ((F` w)D(F` P)))
12		3simp2 789	. . . . . . . . . . . 12 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> D e. Met)
13	12	ad2antrr 404	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> D e. Met)
14		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:X-->Y /\ P e. X) -> (F` P) e. Y)
15	14	ancoms 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((P e. X /\ F:X-->Y) -> (F` P) e. Y)
16	15	3ad2antl3 811	. . . . . . . . . . . 12 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> (F` P) e. Y)
17	16	adantr 389	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> (F` P) e. Y)
18		ffvelrn 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F:X-->Y /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
19	18	adantll 392	. . . . . . . . . . 11 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> (F` w) e. Y)
20	11, 13, 17, 19	syl3anc 858	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> ((F` P)D(F` w)) = ((F` w)D(F` P)))
21	20	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> (((F` P)D(F` w)) < y <-> ((F` w)D(F` P)) < y))
22	10, 21	imbi12d 626	. . . . . . . 8 |- ((((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) /\ w e. X) -> (((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y) <-> ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y)))
23	22	ralbidva 1659	. . . . . . 7 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> (A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y) <-> A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y)))
24	23	anbi2d 616	. . . . . 6 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> ((0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)) <-> (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y))))
25	24	rexbidv 1664	. . . . 5 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> (E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)) <-> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y))))
26	25	imbi2d 612	. . . 4 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> ((0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))) <-> (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y)))))
27	26	ralbidv 1663	. . 3 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F:X-->Y) -> (A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y))) <-> A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y)))))
28	27	pm5.32da 649	. 2 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> ((F:X-->Y /\ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((PCw) < z -> ((F` P)D(F` w)) < y)))) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y))))))
29	5, 28	bitrd 528	1 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> (F e. ((J CnP K)` P) <-> (F:X-->Y /\ A.y e. RR (0 < y -> E.z e. RR (0 < z /\ A.w e. X ((wCP) < z -> ((F` w)D(F` P)) < y))))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646   class class class wbr 2619  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   < clt 5486   CnP ccnp 7753  Metcme 7789  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  metcnpi2 7891  metcnp4 7970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-top 7592  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain