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Theorem metcnp3 18299
Description: Two ways to express that  F is continuous at  P for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnp3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, F    y, J, z    y, K, z    y, X, z   
y, Y, z    y, C, z    y, D, z   
y, P, z

Proof of Theorem metcnp3
Dummy variables  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 18198 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
323ad2ant1 977 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 metcn.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 18197 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
653ad2ant2 978 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
74mopntopon 18198 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
873ad2ant2 978 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
9 simp3 958 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
103, 6, 8, 9tgcnp 17200 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
11 simpll2 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
12 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : X --> Y )
13 simpll3 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 5770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
17 blcntr 18177 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
19 rpxr 10512 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
2019adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR* )
21 blelrn 18180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
2211, 15, 20, 21syl3anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
23 eleq2 2427 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  <->  ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
24 sseq2 3286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " v )  C_  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
2524anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) ) )
2625rexbidv 2649 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
2723, 26imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2827rspcv 2965 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  e. 
ran  ( ball `  D
)  ->  ( A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2922, 28syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
3018, 29mpid 37 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
31 simpl1 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
3231ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
33 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  v  e.  J )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  P  e.  v )
351mopni2 18252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  v  e.  J  /\  P  e.  v
)  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
37 imass2 5152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( F " v ) )
38 sstr2 3272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( F "
v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
3937, 38syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  ( ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4039com12 27 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P ( ball `  C ) z ) 
C_  v  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4140reximdv 2739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. z  e.  RR+  ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
4236, 41syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4342expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4443expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( v  e.  J  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
4544rexlimdv 2751 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4630, 45syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4746ralrimdva 2718 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
48 simpl2 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
49 blss 18185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )
50493expib 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )
5148, 50syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u
) )
52 r19.29r 2769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F
" ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
5331ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
5413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  X
)
55 rpxr 10512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
5655ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR* )
571blopn 18259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) z )  e.  J )
5853, 54, 56, 57syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( P (
ball `  C )
z )  e.  J
)
59 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR+ )
60 blcntr 18177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
6153, 54, 59, 60syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
62 sstr 3273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  /\  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y )  C_  u )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u )
6362ad2ant2l 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  /\  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
6463ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
65 eleq2 2427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) ) )
66 imaeq2 5111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( F " v )  =  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) )
6766sseq1d 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " ( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
)
6865, 67anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  ( P ( ball `  C ) z )  /\  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
) )
6968rspcev 2969 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P ( ball `  C ) z )  e.  J  /\  ( P  e.  ( P
( ball `  C )
z )  /\  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
7058, 61, 64, 69syl12anc 1181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
7170expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7271rexlimdva 2752 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  -> 
( E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7372expimpd 586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7473rexlimdva 2752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7552, 74syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7675exp3a 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7751, 76syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7877com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
7978exp4a 589 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
u  e.  ran  ( ball `  D )  -> 
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
8079ralrimdv 2717 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  A. u  e.  ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
8147, 80impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
8281pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
8310, 82bitrd 244 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    C_ wss 3238   ran crn 4793   "cima 4795   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RR*cxr 9013   RR+crp 10505   topGenctg 13552   * Metcxmt 16579   ballcbl 16581   MetOpencmopn 16584  TopOnctopon 16849    CnP ccnp 17172
This theorem is referenced by:  metcnp  18300
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-topgen 13554  df-xmet 16586  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-cnp 17175
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