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Theorem metcnp3 18049
Description: Two ways to express that  F is continuous at  P for metric spaces. Proposition 14-4.2 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnp3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, F    y, J, z    y, K, z    y, X, z   
y, Y, z    y, C, z    y, D, z   
y, P, z

Proof of Theorem metcnp3
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . . . 5  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
21mopntopon 17948 . . . 4  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
323ad2ant1 981 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
4 metcn.4 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
54mopnval 17947 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
653ad2ant2 982 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
74mopntopon 17948 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
873ad2ant2 982 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
9 simp3 962 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  P  e.  X )
103, 6, 8, 9tgcnp 16946 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) ) )
11 simpll2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
12 simplr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  F : X --> Y )
13 simpll3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  ->  P  e.  X )
14 ffvelrn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
1512, 13, 14syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  Y )
16 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR+ )
17 blcntr 17927 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
1811, 15, 16, 17syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( F `  P
)  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y ) )
19 rpxr 10329 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
2019adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
y  e.  RR* )
21 blelrn 17930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  P )  e.  Y  /\  y  e.  RR* )  ->  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
2211, 15, 20, 21syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  e.  ran  ( ball `  D ) )
23 eleq2 2319 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F `  P
)  e.  u  <->  ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
24 sseq2 3175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " v )  C_  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y ) ) )
2524anbi2d 687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) ) )
2625rexbidv 2539 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )  <->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
2723, 26imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)  <->  ( ( F `
 P )  e.  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2827rcla4v 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  e. 
ran  ( ball `  D
)  ->  ( A. u  e.  ran  ( ball `  D ) ( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
2922, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  -> 
( ( F `  P )  e.  ( ( F `  P
) ( ball `  D
) y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) ) )
3018, 29mpid 39 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
31 simpl1 963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
3231ad2antrr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
33 simplrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  v  e.  J )
34 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  P  e.  v )
351mopni2 18002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  v  e.  J  /\  P  e.  v
)  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
3632, 33, 34, 35syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  E. z  e.  RR+  ( P (
ball `  C )
z )  C_  v
)
37 imass2 5037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( F " v ) )
38 sstr2 3161 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( F "
v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  ( ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4039com12 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( P ( ball `  C ) z ) 
C_  v  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4140reximdv 2629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  ( E. z  e.  RR+  ( P ( ball `  C
) z )  C_  v  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
4236, 41syl5com 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  /\  P  e.  v )  ->  (
( F " v
)  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4342expimpd 589 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  ( y  e.  RR+  /\  v  e.  J ) )  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F " v ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4443expr 601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( v  e.  J  ->  ( ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
4544rexlimdv 2641 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F
" v )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
4630, 45syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
4746ralrimdva 2608 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  ->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) )
48 simpl2 964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
49 blss 17935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )
50493expib 1159 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )
5148, 50syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u
) )
52 r19.29r 2659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) )  ->  E. y  e.  RR+  (
( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F
" ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) ) )
5331ad3antrrr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
5413ad2antrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  X
)
55 rpxr 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
5655ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR* )
571blopn 18009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR* )  ->  ( P ( ball `  C ) z )  e.  J )
5853, 54, 56, 57syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( P (
ball `  C )
z )  e.  J
)
59 simprl 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  z  e.  RR+ )
60 blcntr 17927 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  z  e.  RR+ )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
6153, 54, 59, 60syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) )
62 sstr 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  /\  (
( F `  P
) ( ball `  D
) y )  C_  u )  ->  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u )
6362ad2ant2l 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  /\  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
6463ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
65 eleq2 2319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( P  e.  v  <->  P  e.  ( P ( ball `  C
) z ) ) )
66 imaeq2 4996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  ( F " v )  =  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) )
6766sseq1d 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( F " v
)  C_  u  <->  ( F " ( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
)
6865, 67anbi12d 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( P (
ball `  C )
z )  ->  (
( P  e.  v  /\  ( F "
v )  C_  u
)  <->  ( P  e.  ( P ( ball `  C ) z )  /\  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  u )
) )
6968rcla4ev 2859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P ( ball `  C ) z )  e.  J  /\  ( P  e.  ( P
( ball `  C )
z )  /\  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  u ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
7058, 61, 64, 69syl12anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  ( z  e.  RR+  /\  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
)
7170expr 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7271rexlimdva 2642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u )  -> 
( E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7372expimpd 589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( ( ( ( F `  P ) ( ball `  D
) y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7473rexlimdva 2642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) )
7552, 74syl5 30 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( E. y  e.  RR+  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  C_  u  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P (
ball `  C )
z ) )  C_  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )
7675exp3a 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( E. y  e.  RR+  ( ( F `  P ) ( ball `  D ) y ) 
C_  u  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7751, 76syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( ( u  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( F `  P )  e.  u
)  ->  ( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
7877com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
( u  e.  ran  ( ball `  D )  /\  ( F `  P
)  e.  u )  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) )
7978exp4a 592 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  (
u  e.  ran  ( ball `  D )  -> 
( ( F `  P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v
)  C_  u )
) ) ) )
8079ralrimdv 2607 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y )  ->  A. u  e.  ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) ) )
8147, 80impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  /\  F : X --> Y )  -> 
( A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) )  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) )
8281pm5.32da 625 . 2  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  (
( F : X --> Y  /\  A. u  e. 
ran  ( ball `  D
) ( ( F `
 P )  e.  u  ->  E. v  e.  J  ( P  e.  v  /\  ( F " v )  C_  u ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F " ( P ( ball `  C
) z ) ) 
C_  ( ( F `
 P ) (
ball `  D )
y ) ) ) )
8310, 82bitrd 246 1  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
)  /\  P  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  ( F "
( P ( ball `  C ) z ) )  C_  ( ( F `  P )
( ball `  D )
y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   E.wrex 2519    C_ wss 3127   ran crn 4662   "cima 4664   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RR*cxr 8834   RR+crp 10322   topGenctg 13305   * Metcxmt 16332   ballcbl 16334   MetOpencmopn 16335  TopOnctopon 16595    CnP ccnp 16918
This theorem is referenced by:  metcnp  18050
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-topgen 13307  df-xmet 16336  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-cnp 16921
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