MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metcnp4 Unicode version

Theorem metcnp4 18567
Description: Two ways to say a mapping from metric  C to metric  D is continuous at point  P. Theorem 14-4.3 of [Gleason] p. 240. (Contributed by NM, 17-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
metcnp4.3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcnp4.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
metcnp4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
metcnp4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
metcnp4.7  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
Assertion
Ref Expression
metcnp4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, f    D, f    f, F    P, f    f, J    ph, f    f, X    f, Y    f, K

Proof of Theorem metcnp4
StepHypRef Expression
1 metcnp4.5 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( * Met `  X ) )
2 metcnp4.3 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
32met1stc 17899 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
52mopntopon 17817 . . 3  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
61, 5syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 metcnp4.6 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  Y ) )
8 metcnp4.4 . . . 4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
98mopntopon 17817 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
107, 9syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
11 metcnp4.7 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  X )
124, 6, 10, 111stccnp 17020 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K
) `  P )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f ( ( f : NN --> X  /\  f ( ~~> t `  J ) P )  ->  ( F  o.  f ) ( ~~> t `  K ) ( F `
 P ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3920    o. ccom 4584   -->wf 4588   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   NNcn 9626   * Metcxmt 16201   MetOpencmopn 16204  TopOnctopon 16464    CnP ccnp 16787   ~~> tclm 16788   1stcc1stc 16995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cc 7945  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-card 7456  df-acn 7459  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-fz 10661  df-topgen 13218  df-xmet 16205  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-cnp 16790  df-lm 16791  df-1stc 16997
  Copyright terms: Public domain W3C validator