Theorem metcnpf 7883

Description: A continuous function at point P is a mapping (metric space version of cnpf 7763).

Hypotheses

Ref	Expression
metcnf.1	|- X = dom dom C
metcnf.2	|- Y = dom dom D
metcnf.3	|- J = (Open` C)
metcnf.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metcnpf	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->Y)

Proof of Theorem metcnpf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . . 4 |- U.J = U.J
2		eqid 1475	. . . 4 |- U.K = U.K
3	1, 2	cnpf 7763	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:U.J-->U.K)
4		metcnf.3	. . . . . 6 |- J = (Open` C)
5	4	opntop 7870	. . . . 5 |- (C e. Met -> J e. Top)
6	5	3ad2ant1 800	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> J e. Top)
7		metcnf.4	. . . . . 6 |- K = (Open` D)
8	7	opntop 7870	. . . . 5 |- (D e. Met -> K e. Top)
9	8	3ad2ant2 801	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> K e. Top)
10		metcnf.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
11	10, 4	uniopn 7861	. . . . . . 7 |- (C e. Met -> U.J = X)
12	11	eleq2d 1541	. . . . . 6 |- (C e. Met -> (P e. U.J <-> P e. X))
13	12	biimpar 417	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ P e. X) -> P e. U.J)
14	13	3adant2 798	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> P e. U.J)
15	6, 9, 14	3jca 819	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> (J e. Top /\ K e. Top /\ P e. U.J))
16	3, 15	sylan 448	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:U.J-->U.K)
17		feq2 3621	. . . . . 6 |- (U.J = X -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->U.K))
18	11, 17	syl 10	. . . . 5 |- (C e. Met -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->U.K))
19		metcnf.2	. . . . . . 7 |- Y = dom dom D
20	19, 7	uniopn 7861	. . . . . 6 |- (D e. Met -> U.K = Y)
21		feq3 3622	. . . . . 6 |- (U.K = Y -> (F:X-->U.K <-> F:X-->Y))
22	20, 21	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> (F:X-->U.K <-> F:X-->Y))
23	18, 22	sylan9bb 540	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->Y))
24	23	3adant3 799	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->Y))
25	24	adantr 389	. 2 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> (F:U.J-->U.K <-> F:X-->Y))
26	16, 25	mpbid 195	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ P e. X) /\ F e. ((J CnP K)` P)) -> F:X-->Y)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  U.cuni 2503  dom cdm 3170  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  Topctop 7588   CnP ccnp 7753  Metcme 7789  Opencopn 7792

This theorem is referenced by:  metcnpi3 7892  metcnpi4 7893  nvcnpf 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-top 7592  df-cnp 7755  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796

Copyright terms: Public domain