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Theorem metcnpi3 18108
Description: Epsilon-delta property of a metric space function continuous at  P. A variation of metcnpi2 18107 with non-strict ordering. (Contributed by NM, 16-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
metcn.2  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
metcn.4  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
metcnpi3  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, J, y    x, K, y    x, X, y   
x, Y, y    x, A, y    x, C, y   
x, D, y    x, P, y

Proof of Theorem metcnpi3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metcn.2 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  C )
2 metcn.4 . . 3  |-  K  =  ( MetOpen `  D )
31, 2metcnpi2 18107 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <  z  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A ) )
4 rphalfcl 10394 . . . . . 6  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
54ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
6 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  C  e.  ( * Met `  X
) )
7 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  y  e.  X )
8 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P ) )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
109cnprcl 16991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  ->  P  e.  U. J )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  U. J )
121mopnuni 18003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
136, 12syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  X  =  U. J )
1411, 13eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  P  e.  X )
15 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  P  e.  X
)  ->  ( y C P )  e.  RR* )
166, 7, 14, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( y C P )  e.  RR* )
174ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  e. 
RR* )
19 rpxr 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e. 
RR* )
2019ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  z  e.  RR* )
21 rphalflt 10396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
2221ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
23 xrlelttr 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  /\  ( z  / 
2 )  <  z
)  ->  ( y C P )  <  z
) )
2423exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  (
z  /  2 )  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  ->  (
( z  /  2
)  <  z  ->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( y C P )  <  z ) ) )
2524imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y C P )  e.  RR*  /\  ( z  /  2
)  e.  RR*  /\  z  e.  RR* )  /\  (
z  /  2 )  <  z )  -> 
( ( y C P )  <_  (
z  /  2 )  ->  ( y C P )  <  z
) )
2616, 18, 20, 22, 25syl31anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
y C P )  <  z ) )
27 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  D  e.  ( * Met `  Y
) )
281mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
296, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
302mopntopon 18001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( * Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
3127, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32 cnpf2 16996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  F  e.  (
( J  CnP  K
) `  P )
)  ->  F : X
--> Y )
3329, 31, 8, 32syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  F : X
--> Y )
34 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  y  e.  X )  ->  ( F `  y
)  e.  Y )
3533, 7, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( F `  y )  e.  Y
)
36 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  P  e.  X )  ->  ( F `  P
)  e.  Y )
3733, 14, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( F `  P )  e.  Y
)
38 xmetcl 17912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  Y )  /\  ( F `  y )  e.  Y  /\  ( F `  P
)  e.  Y )  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  e.  RR* )
3927, 35, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e. 
RR* )
40 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR+ )
4140rpxrd 10407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  A  e.  RR* )
42 xrltle 10499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  (
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)
4339, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <  A  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
4426, 43imim12d 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\  y  e.  X ) )  ->  ( (
( y C P )  <  z  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  ( ( y C P )  <_ 
( z  /  2
)  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A ) ) )
4544anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X )  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
4645ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) ) )
4746impr 602 . . . . 5  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  ( z  / 
2 )  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
48 breq2 4043 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( y C P )  <_  x  <->  ( y C P )  <_  (
z  /  2 ) ) )
4948imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  (
( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
5049ralbidv 2576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( z  / 
2 )  ->  ( A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )  <->  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
) )
5150rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( z  /  2
)  e.  RR+  /\  A. y  e.  X  (
( y C P )  <_  ( z  /  2 )  -> 
( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <_  A )
)  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
525, 47, 51syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  RR+  /\ 
A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A ) ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) )
5352expr 598 . . 3  |-  ( ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( A. y  e.  X  ( ( y C P )  < 
z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  < 
A )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `
 y ) D ( F `  P
) )  <_  A
) ) )
5453rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  -> 
( E. z  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <  z  ->  ( ( F `  y ) D ( F `  P ) )  <  A )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( y C P )  <_  x  ->  ( ( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) ) )
553, 54mpd 14 1  |-  ( ( ( C  e.  ( * Met `  X
)  /\  D  e.  ( * Met `  Y
) )  /\  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  P )  /\  A  e.  RR+ ) )  ->  E. x  e.  RR+  A. y  e.  X  ( (
y C P )  <_  x  ->  (
( F `  y
) D ( F `
 P ) )  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648    CnP ccnp 16971
This theorem is referenced by:  blocnilem  21398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cnp 16974
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