Theorem metdnsconst 7898

Description: If a continuous mapping to a metric space is constant on a dense subset, it is constant on the entire space (metric space version of dnsconst 7785).

Hypotheses

Ref	Expression
metdnsconst.1	|- X = dom dom C
metdnsconst.2	|- Y = dom dom D
metdnsconst.3	|- J = (Open` C)
metdnsconst.4	|- K = (Open` D)

Assertion

Ref	Expression
metdnsconst	|- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. Y /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = X)) -> F:X-->{P})

Proof of Theorem metdnsconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . . 6 |- U.J = U.J
2		eqid 1478	. . . . . 6 |- U.K = U.K
3	1, 2	dnsconst 7785	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Haus /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. U.K /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = U.J)) -> F:U.J-->{P})
4	3	ex 373	. . . 4 |- ((J e. Top /\ K e. Haus /\ F e. (J Cn K)) -> ((P e. U.K /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = U.J) -> F:U.J-->{P}))
5		metdnsconst.3	. . . . . 6 |- J = (Open` C)
6	5	opntop 7867	. . . . 5 |- (C e. Met -> J e. Top)
7	6	3ad2ant1 802	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> J e. Top)
8		metdnsconst.4	. . . . . 6 |- K = (Open` D)
9	8	methaus 7879	. . . . 5 |- (D e. Met -> K e. Haus)
10	9	3ad2ant2 803	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> K e. Haus)
11		3simp3 792	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> F e. (J Cn K))
12	4, 7, 10, 11	syl3anc 860	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> ((P e. U.K /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = U.J) -> F:U.J-->{P}))
13		metdnsconst.2	. . . . . . . 8 |- Y = dom dom D
14	13, 8	uniopn 7858	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> U.K = Y)
15	14	adantl 390	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> U.K = Y)
16	15	eleq2d 1544	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (P e. U.K <-> P e. Y))
17		metdnsconst.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom C
18	17, 5	uniopn 7858	. . . . . . 7 |- (C e. Met -> U.J = X)
19	18	adantr 391	. . . . . 6 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> U.J = X)
20	19	eqeq2d 1489	. . . . 5 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> (((cls` J)` A) = U.J <-> ((cls` J)` A) = X))
21	16, 20	3anbi13d 897	. . . 4 |- ((C e. Met /\ D e. Met) -> ((P e. U.K /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = U.J) <-> (P e. Y /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = X)))
22	21	3adant3 801	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> ((P e. U.K /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = U.J) <-> (P e. Y /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = X)))
23		feq2 3627	. . . . 5 |- (U.J = X -> (F:U.J-->{P} <-> F:X-->{P}))
24	18, 23	syl 10	. . . 4 |- (C e. Met -> (F:U.J-->{P} <-> F:X-->{P}))
25	24	3ad2ant1 802	. . 3 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> (F:U.J-->{P} <-> F:X-->{P}))
26	12, 22, 25	3imtr3d 544	. 2 |- ((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) -> ((P e. Y /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = X) -> F:X-->{P}))
27	26	imp 350	1 |- (((C e. Met /\ D e. Met /\ F e. (J Cn K)) /\ (P e. Y /\ A (_ (`'F"{P}) /\ ((cls` J)` A) = X)) -> F:X-->{P})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  {csn 2413  U.cuni 2507  `'ccnv 3175  dom cdm 3176  "cima 3179  -->wf 3184  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Topctop 7590  clsccl 7659   Cn ccn 7749  Hauscha 7778  Metcme 7786  Opencopn 7789

This theorem is referenced by:  ipasslem8 8493

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-2 5972  df-top 7594  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793

Copyright terms: Public domain