MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metelcls Unicode version

Theorem metelcls 18726
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8057. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metelcls.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metelcls.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metelcls.5  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
metelcls  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, J    P, f    S, f    ph, f
Allowed substitution hint:    X( f)

Proof of Theorem metelcls
StepHypRef Expression
1 metelcls.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 metelcls.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32met1stc 18063 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
41, 3syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
5 metelcls.5 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
62mopnuni 17983 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
71, 6syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
85, 7sseqtrd 3215 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
9 eqid 2284 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1091stcelcls 17183 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
114, 8, 10syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1685    C_ wss 3153   U.cuni 3828   class class class wbr 4024   -->wf 5217   ` cfv 5221   NNcn 9742   * Metcxmt 16365   MetOpencmopn 16368   clsccl 16751   ~~> tclm 16952   1stcc1stc 17159
This theorem is referenced by:  metcld  18727
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cc 8057  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-card 7568  df-acn 7571  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-fz 10779  df-topgen 13340  df-xmet 16369  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-lm 16955  df-1stc 17161
  Copyright terms: Public domain W3C validator