MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metelcls Unicode version

Theorem metelcls 18657
Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 7994. The statement can be generalized to first-countable spaces, not just metrizable spaces. (Contributed by NM, 8-Nov-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metelcls.2  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
metelcls.3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
metelcls.5  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
Assertion
Ref Expression
metelcls  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
Distinct variable groups:    D, f    f, J    P, f    S, f    ph, f
Allowed substitution hint:    X( f)

Proof of Theorem metelcls
StepHypRef Expression
1 metelcls.3 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
2 metelcls.2 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
32met1stc 17994 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  1stc )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  J  e.  1stc )
5 metelcls.5 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  X )
62mopnuni 17914 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  =  U. J )
71, 6syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
85, 7sseqtrd 3156 . 2  |-  ( ph  ->  S  C_  U. J )
9 eqid 2256 . . 3  |-  U. J  =  U. J
1091stcelcls 17114 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  S  C_ 
U. J )  -> 
( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
114, 8, 10syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ( ( cls `  J
) `  S )  <->  E. f ( f : NN --> S  /\  f
( ~~> t `  J
) P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   U.cuni 3768   class class class wbr 3963   -->wf 4634   ` cfv 4638   NNcn 9679   * Metcxmt 16296   MetOpencmopn 16299   clsccl 16682   ~~> tclm 16883   1stcc1stc 17090
This theorem is referenced by:  metcld  18658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cc 7994  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-card 7505  df-acn 7508  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-xneg 10384  df-xadd 10385  df-xmul 10386  df-fz 10714  df-topgen 13271  df-xmet 16300  df-bl 16302  df-mopn 16303  df-top 16563  df-bases 16565  df-topon 16566  df-cld 16683  df-ntr 16684  df-cls 16685  df-lm 16886  df-1stc 17092
  Copyright terms: Public domain W3C validator