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Theorem metf1o 25868
Description: Use a bijection with a metric space to construct a metric on a set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
metf1o.2  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
metf1o  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Distinct variable groups:    x, M, y    x, X, y    x, Y, y    x, F, y   
x, A, y
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
Allowed substitution hints:    N( x, y)

Proof of Theorem metf1o
StepHypRef Expression
1 f1of 5437 . . . . . . 7  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y
--> X )
2 ffvelrn 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  x  e.  Y )  ->  ( F `  x
)  e.  X )
32ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( x  e.  Y  ->  ( F `  x
)  e.  X ) )
4 ffvelrn 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y --> X  /\  y  e.  Y )  ->  ( F `  y
)  e.  X )
54ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  -> 
( y  e.  Y  ->  ( F `  y
)  e.  X ) )
63, 5anim12d 548 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X ) ) )
71, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
x  e.  Y  /\  y  e.  Y )  ->  ( ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y
)  e.  X ) ) )
8 metcl 17891 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  x )  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR )
983expib 1156 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( (
( F `  x
)  e.  X  /\  ( F `  y )  e.  X )  -> 
( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
107, 9sylan9r 641 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
11103adant1 975 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( x  e.  Y  /\  y  e.  Y
)  ->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR ) )
1211ralrimivv 2635 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) )  e.  RR )
13 metf1o.2 . . . 4  |-  N  =  ( x  e.  Y ,  y  e.  Y  |->  ( ( F `  x ) M ( F `  y ) ) )
1413fmpt2 6152 . . 3  |-  ( A. x  e.  Y  A. y  e.  Y  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  e.  RR  <->  N :
( Y  X.  Y
) --> RR )
1512, 14sylib 190 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N : ( Y  X.  Y ) --> RR )
16 fveq2 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  u  ->  ( F `  x )  =  ( F `  u ) )
1716oveq1d 5834 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  u  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  y
) ) )
18 fveq2 5485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  v  ->  ( F `  y )  =  ( F `  v ) )
1918oveq2d 5835 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
20 ovex 5844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
2117, 19, 13, 20ovmpt2 5944 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( u N v )  =  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) ) )
2221eqeq1d 2292 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
2322adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0 ) )
24 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  u  e.  Y )  ->  ( F `  u
)  e.  X )
2524ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( u  e.  Y  ->  ( F `  u
)  e.  X ) )
26 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : Y --> X  /\  v  e.  Y )  ->  ( F `  v
)  e.  X )
2726ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  -> 
( v  e.  Y  ->  ( F `  v
)  e.  X ) )
2825, 27anim12d 548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) ) )
291, 28syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) ) )
3029imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )
3130adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )
32 meteq0 17898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  (
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
33323expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  ->  ( ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  =  0  <->  ( F `  u )  =  ( F `  v ) ) )
3433adantlr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
3531, 34syldan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  =  0  <-> 
( F `  u
)  =  ( F `
 v ) ) )
36 f1of1 5436 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  F : Y -1-1-> X )
37 f1fveq 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Y -1-1-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3836, 37sylan 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
)  =  ( F `
 v )  <->  u  =  v ) )
3938adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( F `  u )  =  ( F `  v )  <-> 
u  =  v ) )
4023, 35, 393bitrd 272 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v ) )
41 ffvelrn 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : Y --> X  /\  w  e.  Y )  ->  ( F `  w
)  e.  X )
4241ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : Y --> X  -> 
( w  e.  Y  ->  ( F `  w
)  e.  X ) )
4328, 42anim12d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F : Y --> X  -> 
( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y -1-1-onto-> X  ->  ( (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) ) )
4544imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : Y -1-1-onto-> X  /\  ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y ) )  -> 
( ( ( F `
 u )  e.  X  /\  ( F `
 v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )
4645adantll 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )
47 mettri2 17900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X ) )  -> 
( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_  ( (
( F `  w
) M ( F `
 u ) )  +  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) ) )
4847expcom 426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  ->  ( M  e.  ( Met `  X )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) ) )
49483expb 1154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  e.  X  /\  ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X ) )  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5049ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
)  ->  ( M  e.  ( Met `  X
)  ->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
5150impcom 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  (
( ( F `  u )  e.  X  /\  ( F `  v
)  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5251adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
( F `  u
)  e.  X  /\  ( F `  v )  e.  X )  /\  ( F `  w )  e.  X ) )  ->  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) )  <_  (
( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5346, 52syldan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )  /\  w  e.  Y
) )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5453anassrs 631 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( F `  u
) M ( F `
 v ) )  <_  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
5521adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  =  ( ( F `
 u ) M ( F `  v
) ) )
56 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
5756oveq1d 5834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  y
) ) )
58 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
5958oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
60 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  e. 
_V
6157, 59, 13, 60ovmpt2 5944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  u  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6261ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N u )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  u ) ) )
6362adantlr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N u )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) ) )
6418oveq2d 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
( F `  w
) M ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
65 ovex 5844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) )  e. 
_V
6657, 64, 13, 65ovmpt2 5944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  Y  /\  v  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6766ancoms 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y )  ->  ( w N v )  =  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) )
6867adantll 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
w N v )  =  ( ( F `
 w ) M ( F `  v
) ) )
6963, 68oveq12d 5837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( w N u )  +  ( w N v ) )  =  ( ( ( F `  w ) M ( F `  u ) )  +  ( ( F `  w ) M ( F `  v ) ) ) )
7055, 69breq12d 4037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7170adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) )  <->  ( ( F `  u ) M ( F `  v ) )  <_ 
( ( ( F `
 w ) M ( F `  u
) )  +  ( ( F `  w
) M ( F `
 v ) ) ) ) )
7254, 71mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e.  ( Met `  X
)  /\  F : Y
-1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  /\  w  e.  Y )  ->  (
u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) )
7372ralrimiva 2627 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  ->  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( (
w N u )  +  ( w N v ) ) )
7440, 73jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X
)  /\  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y ) )  -> 
( ( ( u N v )  =  0  <->  u  =  v
)  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_ 
( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
75743adantl1 1113 . . . 4  |-  ( ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  /\  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
7675ex 425 . . 3  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  (
( u  e.  Y  /\  v  e.  Y
)  ->  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) )
7776ralrimivv 2635 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  ( (
( u N v )  =  0  <->  u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  ( ( w N u )  +  ( w N v ) ) ) )
78 ismet 17882 . . 3  |-  ( Y  e.  A  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
79783ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  ( N  e.  ( Met `  Y )  <->  ( N : ( Y  X.  Y ) --> RR  /\  A. u  e.  Y  A. v  e.  Y  (
( ( u N v )  =  0  <-> 
u  =  v )  /\  A. w  e.  Y  ( u N v )  <_  (
( w N u )  +  ( w N v ) ) ) ) ) )
8015, 77, 79mpbir2and 890 1  |-  ( ( Y  e.  A  /\  M  e.  ( Met `  X )  /\  F : Y -1-1-onto-> X )  ->  N  e.  ( Met `  Y
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   class class class wbr 4024    X. cxp 4686   -->wf 5217   -1-1->wf1 5218   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221  (class class class)co 5819    e. cmpt2 5821   RRcr 8731   0cc0 8732    + caddc 8735    <_ cle 8863   Metcme 16364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-mulcl 8794  ax-i2m1 8800
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-xadd 10448  df-xmet 16367  df-met 16368
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