Theorem metflem 7785

Description: Lemma for metf 7786 and others.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metflem	|- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem metflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . 3 |- X = dom dom D
2	1	ismet 7777	. 2 |- (D e. Met -> (D e. Met <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
3	2	ibi 591	1 |- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1644   class class class wbr 2616   X. cxp 3165  dom cdm 3167  -->wf 3175  (class class class)co 3960  RRcr 5220  0cc0 5221   + caddc 5224   <_ cle 5282  Metcme 7768

This theorem is referenced by:  metf 7786  meteq0 7791  mettri2 7792  mettri4 7793  metreslem 7803

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-fv 3195  df-opr 3962  df-met 7772

Copyright terms: Public domain