Theorem metssba 7806

Description: The base set of a metric subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metssba	|- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Proof of Theorem metssba

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom D
2	1	metf 7804	. . . . . 6 |- (D e. Met -> D:(X X. X)-->RR)
3		fdm 3637	. . . . . 6 |- (D:(X X. X)-->RR -> dom D = (X X. X))
4	2, 3	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> dom D = (X X. X))
5	4	ineq2d 2220	. . . 4 |- (D e. Met -> ((Y X. Y) i^i dom D) = ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
6		dmres 3386	. . . 4 |- dom ( D |` (Y X. Y)) = ((Y X. Y) i^i dom D)
7	5, 6	syl5eq 1522	. . 3 |- (D e. Met -> dom ( D |` (Y X. Y)) = ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
8	7	dmeqd 3319	. 2 |- (D e. Met -> dom dom ( D |` (Y X. Y)) = dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)))
9		dmxpin 3340	. . 3 |- dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)) = (Y i^i X)
10		incom 2211	. . 3 |- (Y i^i X) = (X i^i Y)
11	9, 10	eqtr 1498	. 2 |- dom ((Y X. Y) i^i (X X. X)) = (X i^i Y)
12	8, 11	syl6req 1527	1 |- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960   i^i cin 2049   X. cxp 3174  dom cdm 3176   |` cres 3178  -->wf 3184  RRcr 5245  Metcme 7786

This theorem is referenced by:  metssba2 7807  lmsslem 7949  lmss 7950  caussi 7951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-met 7790

Copyright terms: Public domain