Theorem metssba2 7810

Description: The base set of a metric subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metssba2	|- ((D e. Met /\ Y (_ X) -> Y = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Proof of Theorem metssba2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss 2054	. . . 4 |- (Y (_ X <-> Y = (Y i^i X))
2	1	biimp 151	. . 3 |- (Y (_ X -> Y = (Y i^i X))
3		incom 2208	. . 3 |- (Y i^i X) = (X i^i Y)
4	2, 3	syl6eq 1523	. 2 |- (Y (_ X -> Y = (X i^i Y))
5		metf.1	. . 3 |- X = dom dom D
6	5	metssba 7809	. 2 |- (D e. Met -> (X i^i Y) = dom dom ( D |` (Y X. Y)))
7	4, 6	sylan9eqr 1529	1 |- ((D e. Met /\ Y (_ X) -> Y = dom dom ( D |` (Y X. Y)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047   X. cxp 3168  dom cdm 3170   |` cres 3172  Metcme 7789

This theorem is referenced by:  cmsss 7997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-met 7793

Copyright terms: Public domain