Theorem mettri2 7813

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
mettri2	|- ((D e. Met /\ (C e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Proof of Theorem mettri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3968	. . . . . 6 |- (x = A -> (xDy) = (ADy))
2		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (x = A -> (zDx) = (zDA))
3	2	opreq1d 3975	. . . . . 6 |- (x = A -> ((zDx) + (zDy)) = ((zDA) + (zDy)))
4	1, 3	breq12d 2631	. . . . 5 |- (x = A -> ((xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) <-> (ADy) <_ ((zDA) + (zDy))))
5		opreq2 3969	. . . . . 6 |- (y = B -> (ADy) = (ADB))
6		opreq2 3969	. . . . . . 7 |- (y = B -> (zDy) = (zDB))
7	6	opreq2d 3976	. . . . . 6 |- (y = B -> ((zDA) + (zDy)) = ((zDA) + (zDB)))
8	5, 7	breq12d 2631	. . . . 5 |- (y = B -> ((ADy) <_ ((zDA) + (zDy)) <-> (ADB) <_ ((zDA) + (zDB))))
9		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (z = C -> (zDA) = (CDA))
10		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (z = C -> (zDB) = (CDB))
11	9, 10	opreq12d 3978	. . . . . 6 |- (z = C -> ((zDA) + (zDB)) = ((CDA) + (CDB)))
12	11	breq2d 2630	. . . . 5 |- (z = C -> ((ADB) <_ ((zDA) + (zDB)) <-> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
13	4, 8, 12	rcla43v 1882	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
14		metf.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom D
15	14	metflem 7806	. . . . . 6 |- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
16	15	pm3.27d 325	. . . . 5 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
17		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
18	17	r19.20si 1706	. . . . . 6 |- (A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
19	18	r19.20si 1706	. . . . 5 |- (A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
20	16, 19	syl 10	. . . 4 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
21	13, 20	syl5 21	. . 3 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
22	21	3comr 841	. 2 |- ((C e. X /\ A e. X /\ B e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
23	22	impcom 351	1 |- ((D e. Met /\ (C e. X /\ A e. X /\ B e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   class class class wbr 2619   X. cxp 3168  dom cdm 3170  -->wf 3178  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   + caddc 5237   <_ cle 5295  Metcme 7789

This theorem is referenced by:  mettri 7817  metxplem3 7828  lmuni 7951

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-met 7793

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