Theorem mettri4 7764

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
mettri4	|- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Proof of Theorem mettri4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . . . . . 7 |- (x = A -> (xDy) = (ADy))
2		opreq2 3960	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (zDx) = (zDA))
3	2	opreq1d 3966	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((zDx) + (zDy)) = ((zDA) + (zDy)))
4	1, 3	breq12d 2626	. . . . . 6 |- (x = A -> ((xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) <-> (ADy) <_ ((zDA) + (zDy))))
5		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (y = B -> (ADy) = (ADB))
6		opreq2 3960	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (zDy) = (zDB))
7	6	opreq2d 3967	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((zDA) + (zDy)) = ((zDA) + (zDB)))
8	5, 7	breq12d 2626	. . . . . 6 |- (y = B -> ((ADy) <_ ((zDA) + (zDy)) <-> (ADB) <_ ((zDA) + (zDB))))
9		opreq1 3959	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDA) = (CDA))
10		opreq1 3959	. . . . . . . 8 |- (z = C -> (zDB) = (CDB))
11	9, 10	opreq12d 3969	. . . . . . 7 |- (z = C -> ((zDA) + (zDB)) = ((CDA) + (CDB)))
12	11	breq2d 2625	. . . . . 6 |- (z = C -> ((ADB) <_ ((zDA) + (zDB)) <-> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
13	4, 8, 12	rcla43v 1878	. . . . 5 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
14		metf.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom D
15	14	metflem 7756	. . . . . . 7 |- (D e. Met -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
16	15	pm3.27d 325	. . . . . 6 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
17		pm3.27 323	. . . . . . . 8 |- ((((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
18	17	r19.20si 1703	. . . . . . 7 |- (A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
19	18	r19.20si 1703	. . . . . 6 |- (A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))) -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
20	16, 19	syl 10	. . . . 5 |- (D e. Met -> A.x e. X A.y e. X A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))
21	13, 20	syl5 21	. . . 4 |- ((A e. X /\ B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB))))
22	21	3expib 835	. . 3 |- (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (D e. Met -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
23	22	com3r 35	. 2 |- (D e. Met -> (A e. X -> ((B e. X /\ C e. X) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))))
24	23	imp31 362	1 |- (((D e. Met /\ A e. X) /\ (B e. X /\ C e. X)) -> (ADB) <_ ((CDA) + (CDB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  dom cdm 3165  -->wf 3173  (class class class)co 3954  RRcr 5213  0cc0 5214   + caddc 5217   <_ cle 5275  Metcme 7739

This theorem is referenced by:  metsym 7766  mettriOLD 7768  metge0 7771  iscau3 7890  iscau4 7892  lmle 7911

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-opr 3956  df-met 7743

Copyright terms: Public domain