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Theorem metustexhalfOLD 18624
 Description: For any element of the filter base generated by the metric , the half element (corresponding to half the distance) is also in this base. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Nov-2017.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1
Assertion
Ref Expression
metustexhalfOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem metustexhalfOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4r 745 . . . 4
2 simplr 733 . . . . . 6
32rphalfcld 10691 . . . . 5
4 eqidd 2443 . . . . 5
5 oveq2 6118 . . . . . . . 8
65imaeq2d 5232 . . . . . . 7
76eqeq2d 2453 . . . . . 6
87rspcev 3058 . . . . 5
93, 4, 8syl2anc 644 . . . 4
10 metust.1 . . . . . . 7
11 oveq2 6118 . . . . . . . . . 10
1211imaeq2d 5232 . . . . . . . . 9
1312cbvmptv 4325 . . . . . . . 8
1413rneqi 5125 . . . . . . 7
1510, 14eqtri 2462 . . . . . 6
1615metustelOLD 18612 . . . . 5
1716biimpar 473 . . . 4
181, 9, 17syl2anc 644 . . 3
19 relco 5397 . . . . 5
2019a1i 11 . . . 4
21 cossxp 5421 . . . . . . . . . 10
22 cnvimass 5253 . . . . . . . . . . . . . 14
23 xmetf 18390 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 fdm 5624 . . . . . . . . . . . . . . 15
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
2622, 25syl5sseq 3382 . . . . . . . . . . . . 13
27 dmss 5098 . . . . . . . . . . . . . 14
28 rnss 5127 . . . . . . . . . . . . . 14
29 xpss12 5010 . . . . . . . . . . . . . 14
3027, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13
3126, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3231adantl 454 . . . . . . . . . . 11
33 dmxp 5117 . . . . . . . . . . . . 13
34 rnxp 5328 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34xpeq12d 4932 . . . . . . . . . . . 12
3635adantr 453 . . . . . . . . . . 11
3732, 36sseqtrd 3370 . . . . . . . . . 10
3821, 37syl5ss 3345 . . . . . . . . 9
3938ad3antrrr 712 . . . . . . . 8
4039sselda 3334 . . . . . . 7
41 opelxp 4937 . . . . . . 7
4240, 41sylib 190 . . . . . 6
43 simpll 732 . . . . . . 7
44 simprl 734 . . . . . . 7
45 simprr 735 . . . . . . 7
46 simplr 733 . . . . . . 7
47 simplll 736 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . 14
4948, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5048, 2syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 50jca 520 . . . . . . . . . . . 12
5247simp2d 971 . . . . . . . . . . . 12
5347simp3d 972 . . . . . . . . . . . 12
5451, 52, 533jca 1135 . . . . . . . . . . 11
55 simplr 733 . . . . . . . . . . 11
56 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
57 simprr 735 . . . . . . . . . . 11
58 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . 14
6059simpld 447 . . . . . . . . . . . . 13
61 ffun 5622 . . . . . . . . . . . . . 14
6223, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12
6458simp2d 971 . . . . . . . . . . . . . 14
6558simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . 14
6664, 65, 41sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13
6760, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6866, 67eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . 12
69 0xr 9162 . . . . . . . . . . . . . 14
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7159simprd 451 . . . . . . . . . . . . . 14
7271rpxrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13
7360, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
7473, 66ffvelrnd 5900 . . . . . . . . . . . . 13
75 xmetge0 18405 . . . . . . . . . . . . . . 15
7660, 64, 65, 75syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14
77 df-ov 6113 . . . . . . . . . . . . . 14
7876, 77syl6breq 4276 . . . . . . . . . . . . 13
7977, 74syl5eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
80 0re 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8271rpred 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8382rehalfcld 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85 df-ov 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
86 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
87 opelxp 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8864, 86, 87sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8988, 67eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
91 df-br 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9290, 91sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
93 fvimacnv 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9493biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9563, 89, 92, 94syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9685, 95syl5eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
97 elico2 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9897biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9998simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10081, 84, 96, 99syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
101 df-ov 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
102 opelxp 4937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
10386, 65, 102sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
104103, 67eleqtrrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
105 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
106 df-br 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107105, 106sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108 fvimacnv 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
109108biimpar 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11063, 104, 107, 109syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
111101, 110syl5eqel 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112 elico2 11005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112biimpa 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11581, 84, 111, 114syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116 rexadd 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117100, 115, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118100, 115readdcld 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
119117, 118eqeltrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . 16
120119rexrd 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15
121 xmettri 18412 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12260, 64, 65, 86, 121syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15
12398simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12481, 84, 96, 123syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125113simp3d 972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12681, 84, 111, 125syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
127100, 115, 82, 124, 126lt2halvesd 10246 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128117, 127eqbrtrd 4257 . . . . . . . . . . . . . . 15
12979, 120, 72, 122, 128xrlelttrd 10781 . . . . . . . . . . . . . 14
13077, 129syl5eqbrr 4271 . . . . . . . . . . . . 13
131 elico1 10990 . . . . . . . . . . . . . 14
132131biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13
13370, 72, 74, 78, 130, 132syl23anc 1192 . . . . . . . . . . . 12
134 fvimacnv 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
135134biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13
136 df-br 4238 . . . . . . . . . . . . 13
137135, 136sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12
13863, 68, 133, 137syl21anc 1184 . . . . . . . . . . 11
13954, 55, 56, 57, 138syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10
14048simprd 451 . . . . . . . . . . 11
141140breqd 4248 . . . . . . . . . 10
142139, 141mpbird 225 . . . . . . . . 9
143 simpr 449 . . . . . . . . . . . . 13
144 df-br 4238 . . . . . . . . . . . . 13
145143, 144sylibr 205 . . . . . . . . . . . 12
146 vex 2965 . . . . . . . . . . . . 13
147 vex 2965 . . . . . . . . . . . . 13
148146, 147brco 5072 . . . . . . . . . . . 12
149145, 148sylib 190 . . . . . . . . . . 11
15026adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
151150, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15234adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
153151, 152sseqtrd 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
154153adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
156146, 155brelrn 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157156adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158154, 157sseldd 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159158adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160159ex 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161160ancrd 539 . . . . . . . . . . . . . . 15
162161eximdv 1633 . . . . . . . . . . . . . 14
163162ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13
1641633ad2ant1 979 . . . . . . . . . . . 12
165164adantr 453 . . . . . . . . . . 11
166149, 165mpd 15 . . . . . . . . . 10
167 df-rex 2717 . . . . . . . . . 10
168166, 167sylibr 205 . . . . . . . . 9
169142, 168r19.29a 2856 . . . . . . . 8
170 df-br 4238 . . . . . . . 8
171169, 170sylib 190 . . . . . . 7
17243, 44, 45, 46, 171syl31anc 1188 . . . . . 6
17342, 172mpdan 651 . . . . 5
174173ex 425 . . . 4
17520, 174relssdv 4997 . . 3
176 id 21 . . . . . 6
177176, 176coeq12d 5066 . . . . 5
178177sseq1d 3361 . . . 4
179178rspcev 3058 . . 3
18018, 175, 179syl2anc 644 . 2
18110metustelOLD 18612 . . . 4
182181adantl 454 . . 3
183182biimpa 472 . 2
184180, 183r19.29a 2856 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wrex 2712   wss 3306  c0 3613  cop 3841   class class class wbr 4237   cmpt 4291   cxp 4905  ccnv 4906   cdm 4907   crn 4908  cima 4910   ccom 4911   wrel 4912   wfun 5477  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cr 9020  cc0 9021   caddc 9024  cxr 9150   clt 9151   cle 9152   cdiv 9708  c2 10080  crp 10643  cxad 10739  cico 10949  cxmt 16717 This theorem is referenced by:  metustOLD  18628 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-2 10089  df-rp 10644  df-xneg 10741  df-xadd 10742  df-xmul 10743  df-ico 10953  df-xmet 16726
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