Theorem metxplem2 7824

Description: Lemma for metxp 7831.

Hypotheses

Ref	Expression
metxplem1.1	|- D e. Met
metxplem1.2	|- X = dom dom D
metxplem2.4	|- G = (2nd` R)
metxplem2.5	|- J = (2nd` S)

Assertion

Ref	Expression
metxplem2	|- ((R e. (Y X. X) /\ S e. (Y X. X)) -> (GDJ) e. RR)

Proof of Theorem metxplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxplem1.1	. . 3 |- D e. Met
2		metxplem1.2	. . . 4 |- X = dom dom D
3	2	metcl 7808	. . 3 |- ((D e. Met /\ G e. X /\ J e. X) -> (GDJ) e. RR)
4	1, 3	mp3an1 905	. 2 |- ((G e. X /\ J e. X) -> (GDJ) e. RR)
5		elxp7 4109	. . . . 5 |- (R e. (Y X. X) <-> (R e. (V X. V) /\ ((1st` R) e. Y /\ (2nd` R) e. X)))
6	5	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (R e. (Y X. X) -> ((1st` R) e. Y /\ (2nd` R) e. X))
7	6	pm3.27d 325	. . 3 |- (R e. (Y X. X) -> (2nd` R) e. X)
8		metxplem2.4	. . 3 |- G = (2nd` R)
9	7, 8	syl5eqel 1555	. 2 |- (R e. (Y X. X) -> G e. X)
10		elxp7 4109	. . . . 5 |- (S e. (Y X. X) <-> (S e. (V X. V) /\ ((1st` S) e. Y /\ (2nd` S) e. X)))
11	10	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (S e. (Y X. X) -> ((1st` S) e. Y /\ (2nd` S) e. X))
12	11	pm3.27d 325	. . 3 |- (S e. (Y X. X) -> (2nd` S) e. X)
13		metxplem2.5	. . 3 |- J = (2nd` S)
14	12, 13	syl5eqel 1555	. 2 |- (S e. (Y X. X) -> J e. X)
15	4, 9, 14	syl2an 456	1 |- ((R e. (Y X. X) /\ S e. (Y X. X)) -> (GDJ) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814   X. cxp 3174  dom cdm 3176  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  1stc1st 4083  2ndc2nd 4084  RRcr 5245  Metcme 7786

This theorem is referenced by:  metxpdval 7826  metxptval 7827  metxpfval 7828  metxpcl 7829  metxplem4 7830  metxp 7831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-opr 3971  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-met 7790

Copyright terms: Public domain